[論文レビュー] Integrals with values in Banach spaces and locally convex spaces

Piotr Mikusiński|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2014

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ひとこと要約

本稿では、単純関数の級数を用いてバナッハ空間および局所凸空間値関数のボフネル積分の構成を提示し、その線形性、収束性、ゲルファンド＝ペティス積分可能性との同値性を確立する。主たる貢献は、単純関数による近似とノルムに基づく収束を用いて、抽象的バナッハ空間および局所凸空間へのルベーグ積分の一般化を、測度論的枠組みで厳密に確立することにある。

ABSTRACT

The purpose of this article is to present the construction and basic properties of the general Bochner integral. The approach presented here is based on the ideas from the book The Bochner Integral by J. Mikusinski where the integral is presented for functions defined on $\mathbb{R}^N$. In this article we present a more general and simplified construction of the Bochner integral on abstract measure spaces. An extension of the construction to functions with values in a locally convex space is also considered.

研究の動機と目的

• 抽象的測度空間に値をとるバナッハ空間上のボフネル積分の一般枠組みを構築すること。
• 射影極限とセミノルムを用いて、ボフネル積分の構成を関数値が局所凸空間である場合に拡張すること。
• 近似用の単純関数の級数の選び方に依存しない、積分が適切に定義されていること、すなわち一意的であることを証明すること。
• 双対性を用いてボフネル積分可能性とゲルファンド＝ペティス積分可能性との同値性を確立すること。
• ボフネル可積分関数の空間が適切なセミノルムの位相に関して完備であることを示すこと。

提案手法

• 関数の級数表現を用いる：f ≃ f₁ + f₂ + ⋯、ここで fₙ は L¹(X,μ,E) 内の単純関数である。
• ボフネル積分を ∫f = ∫f₁ + ∫f₂ + ⋯ として定義し、∑‖fₙ‖₁ の絶対収束に依存する。
• 三角不等式およびノルム推定を用いて、‖∫f‖ ≤ ∫‖f‖ が成り立つことを示し、有界性および連続性を保証する。
• 局所凸空間の場合、位相を定義するセミノルムの族 (‖·‖_α) を用い、射影極限を用いて積分構成を拡張する。
• セミノルムにおける収束と双対性を用いて、不等式 ‖∑∫fₙ‖_α ≤ ∫‖f‖_α を用いて積分の独立性を証明する。
• 双対性を用いて、すべての有界線形汎関数 Λ に対して Λ∫f = ∫Λf が成り立つことを示し、ゲルファンド＝ペティス積分可能性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 抽象的測度空間に値をとるバナッハ空間上のボフネル積分は、単純関数の級数を用いて一貫して定義可能か？
• RQ2 近似用の単純関数の級数の選び方に依存しない、積分の構成は成立するか？
• RQ3 ボフネル積分は、任意の局所凸空間値関数へどのように拡張可能か？
• RQ4 セミノルムが誘導する位相に関して、ボフネル可積分関数の空間は完備か？
• RQ5 すべてのボフネル可積分関数はゲルファンド＝ペティス可積分であり、双対性関係 ∫Λf = Λ∫f が成り立つか？

主な発見

• 不等式 ‖∑∫fₙ‖ ≤ ∫‖f‖ を用いて、近似用の単純関数の級数の選び方に依存しない、ボフネル積分が適切に定義されていることが示された。
• セミノルム ‖f‖_α = ∫‖f‖_α に関して、ボフネル可積分関数の空間 L¹(X,μ,E) は完備である。
• E 上の任意の有界線形汎関数 Λ に対して、合成関数 Λf はルベーグ可積分であり、Λ∫f = ∫Λf を満たす。これによりゲルファンド＝ペティス積分可能性が確認された。
• 積分は L¹(X,μ,E) から E への連続的線形作用素であり、ノルム不等式 ‖∫f‖ ≤ ∫‖f‖ を満たす。
• 射影極限とセミノルムを用いて、局所凸空間への構成は自然に一般化され、積分の主要な性質が保たれる。
• 空間 L¹(X,μ,E) は、セミノルムによってインデックス付けられた L¹(X,μ,R) 空間の直積の閉部分空間に同型であり、位相的完備性が保証される。