[論文レビュー] Integrating Lie algebroids via stacks

Hsian‐Hua Tseng, Chenchang Zhu|ArXiv.org|May 1, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、微分可能スタックとしての『ワインスタイン群ガロア』——群ガロア的構造を持つLie代数群のグローバルな統合問題を解くためのもの——を導入する。各ワインスタイン群ガロアに標準的なLie代数群を定義し、任意のLie代数群がそのようなスタックに統合可能であることを示すことにより、スタック的技法を用いてLie代数群の完全なLieの第三定理を確立する。

ABSTRACT

Lie algebroids can not always be integrated into Lie groupoids. We introduce a new object--``Weinstein groupoid'', which is a differentiable stack with groupoid-like axioms. With it, we have solved the integration problem of Lie algebroids. It turns out that every Weinstein groupoid has a Lie algebroid and every Lie algebroid can be integrated into a Weinstein groupoid.

研究の動機と目的

• 古典的なLie群ガロアが常に存在しない場合に、Lie代数群のグローバルな幾何的対象への統合という長年の問題を解決すること。
• 非可積分なLie代数群を扱えるように一般化されたLie群ガロアの概念的かつ幾何的枠組みを提供すること。
• 微分可能スタックを統合対象とするスタック的技法を用いて、Lie代数群におけるLieの第三定理のバージョンを確立すること。
• 標準的なスタックに基づく構成により、以前の局所統合、$A$-パス空間、シンプレクティック群ガロアに関する結果を統一的かつ一般化すること。
• 古典的なLie代数群の可積分性条件が、ワインスタイン群ガロアが多様体として表現可能であることと正確に一致することを示すこと。

提案手法

• エタール微分可能スタックとしての『ワインスタイン群ガロア』を定義し、源、終域、乗法、単位、逆元の写像が、一貫性のある2同型を除いて群ガロアの公理を満たすようにすること。
• エタール提示と開被覆のリファインメントから得られる局所Lie群ガロアの微分により、ワインスタイン群ガロアのLie代数群を定義すること。
• $A$-パス空間の構成（CrainicとFernandesによるもの）を基盤として、単位セクションの近傍における局所群ガロア構造を定義すること。
• 任意のLie代数群$A$に対して、エタール群ガロアと開被覆のリファインメントによる提示を用いて、2つの標準的ワインスタイン群ガロア$\mathcal{G}(A)$と$\mathcal{H}(A)$を構成すること。
• 異なる提示の間で一貫性を保つために、局所群ガロアのLie代数群とワインスタイン群ガロアのLie代数群の間に標準的同型を確立すること。
• $\mathcal{G}(A)$と$\mathcal{H}(A)$の軌道空間が、Crainic-Fernandes（2003年）によって構成された普遍的位相群ガロアと同型であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なLie群ガロア統合が失敗する場合に、任意のLie代数群がグローバルな幾何的対象に統合可能かどうか。
• RQ2 すべての有限次元Lie代数群を統合できるように一般化されたLie群ガロアの適切な一般化とは何か。
• RQ3 ワインスタイン群ガロアのスタック的枠組みは、$A$-パス空間やシンプレクティック群ガロアといった既存の構成とどのように関係しているか。
• RQ4 ワインスタイン群ガロアが滑らかな多様体として表現可能である条件は何か。また、これは古典的可積分性とどのように関係しているか。
• RQ5 ワインスタイン群ガロアのLie代数群は標準的に定義可能か。また、元のLie代数群を回復できるか。

主な発見

• 任意のLie代数群$A$は、同じLie代数群$A$を共有する2つの標準的ワインスタイン群ガロア$\mathcal{G}(A)$と$\mathcal{H}(A)$に統合可能である。
• ワインスタイン群ガロアのLie代数群は、エタール提示と開被覆のリファインメントから得られる局所Lie群ガロアの微分により、標準的に定義される。
• Lie代数群$A$が古典的に可積分（すなわち、Lie群ガロアに統合可能）であることは、$\mathcal{H}(A)$が滑らかな多様体として表現可能であることと同値である。
• $\mathcal{H}(A)$が表現可能であるとき、それは$A$の源単純連結Lie群ガロアと一致し、古典的な統合結果を回復する。
• $\mathcal{G}(A)$と$\mathcal{H}(A)$の軌道空間は、両方ともCrainicとFernandes（2003年）によって構成された$A$の普遍的位相群ガロアと同型である。
• ワインスタイン群ガロアから得られる局所Lie群ガロアの構成は、提示の選択に依存せず、標準的であり、異なるアトラス間でも一貫性が保たれる。