[論文レビュー] Integration and measures on the space of countable labelled graphs

Apoorva Khare, Bala Rajaratnam|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2015

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、可算ラベル付きグラフの空間 $\mathscr{G}(V)$ 上での積分および測度論に厳密な基礎を築く。具体的には、二進ハミングノルム $\|\cdot\|_{\psi,2}$ が無限グラフの空間から単位円に至るヘア測度を保全する全単射を定める。これにより、$\mathbb{R}$ 上のリーマン＝ルベーグ理論をグラフ空間へと変数変換することで移行可能となり、$\mathscr{G}(V)$ のポントリャーギン双対がウォルシュ関数の群として特定され、グラフ空間上でのフーリエ解析が可能となる。

ABSTRACT

In this paper we develop a rigorous foundation for the study of integration and measures on the space $\mathscr{G}(V)$ of all graphs defined on a countable labelled vertex set $V$. We first study several interrelated $σ$-algebras and a large family of probability measures on graph space. We then focus on a "dyadic" Hamming distance function $\left\| \cdot ight\|_{ψ,2}$, which was very useful in the study of differentiation on $\mathscr{G}(V)$. The function $\left\| \cdot ight\|_{ψ,2}$ is shown to be a Haar measure-preserving bijection from the subset of infinite graphs to the circle (with the Haar/Lebesgue measure), thereby naturally identifying the two spaces. As a consequence, we establish a "change of variables" formula that enables the transfer of the Riemann-Lebesgue theory on $\mathbb{R}$ to graph space $\mathscr{G}(V)$. This also complements previous work in which a theory of Newton-Leibnitz differentiation was transferred from the real line to $\mathscr{G}(V)$ for countable $V$. Finally, we identify the Pontryagin dual of $\mathscr{G}(V)$, and characterize the positive definite functions on $\mathscr{G}(V)$.

研究の動機と目的

• 固定された可算でラベル付き頂点集合 $V$ を持つすべてのグラフの空間 $\mathscr{G}(V)$ 上での積分および測度論の厳密な理論の構築。
• 対称差を群演算とするコンパクトなアーベル群としての $\mathscr{G}(V)$ 上のヘア測度の特定とその研究。
• ヘア測度を保全する全単射を介して、$\mathscr{G}(V)$ 上の積分と $\mathbb{R}$ 上のリーマン＝ルベーグ理論との関係を確立。
• $\mathscr{G}(V)$ のポントリャーギン双対を特徴づけ、グラフ空間上での正定値関数の構造を特定。
• ウォルシュ関数が $L^2(\mathscr{G}(V))$ 内の完全正規直交基底をなすことを示し、グラフ空間上でのフーリエ解析を可能にする。

提案手法

• 可算頂点集合 $V$ 上のすべてのグラフの空間を $\mathscr{G}(V) = \{0,1\}^{K_V}$ と定義し、積分位相と対称差を群演算として備える。
• 固定された全単射 $\psi: K_V \to \mathbb{N}$ を用いて、$\|G\|_{\psi,2} = \sum_{e \in G} 2^{-\psi(e)}$ として二進ハミングノルムを導入し、これは平行移動不変な距離を誘導する。
• $\|\cdot\|_{\psi,2}$ が無限グラフの部分集合から単位円 $[0,1)$ へのヘア測度を保全する全単射を定めることを証明し、これにより積分の変数変換が可能となる。
• この全単射を用いて、$\mathbb{R}$ 上のリーマン＝ルベーグ理論を $\mathscr{G}(V)$ へと移行し、グラフ空間上の積分を $[0,1]$ 上の積分に還元可能となる。
• $\mathscr{G}(V)$ のポントリャーギン双対 $\mathscr{G}^\wedge$ を、有限辺集合 $E \in \mathscr{G}_0(V)$ をインデックスとするウォルシュ関数 $\chi_E$ の群として特徴づける。
• ボホナーの定理を適用し、$\mathscr{G}(V)$ 上の正規化された正定値関数が、$\mathscr{G}^\wedge$ 上の確率測度のフーリエ変換として常に表せることを示し、これは $\mathscr{G}_0(V)$ と同型である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可算ラベル付きグラフの空間 $\mathscr{G}(V)$ 上で一貫性のある積分および測度論をどのように構築できるか？
• RQ2 二進ハミングノルム $\|\cdot\|_{\psi,2}$ は、グラフ空間と単位円をどのように結びつけ、変数変換を可能にするか？
• RQ3 グラフ空間上のヘア測度と円上のルベーグ測度の関係は何か？この同型の意義は何か？
• RQ4 $\mathscr{G}(V)$ のポントリャーギン双対は何か？また、グラフ空間上での正定値関数の構造とどのように関係するか？
• RQ5 ウォルシュ関数を用いて $\mathscr{G}(V)$ 上のフーリエ解析を完全に特徴づけられるか？これは古典的な $L^2$ 理論とどのように関連するか？

主な発見

• 二進ハミングノルム $\|\cdot\|_{\psi,2}$ は、無限グラフの空間から単位円 $[0,1)$ へのヘア測度を保全する全単射を定め、これにより $\mathbb{R}$ から $\mathscr{G}(V)$ への積分の変数変換が可能となる。
• $\mathscr{G}(V)$ 上の積分は、この全単射を介して $[0,1]$ 上の積分に還元可能であり、結果としてリーマン＝ルベーグ理論がグラフ空間へと移行される。
• $\mathscr{G}(V)$ のポントリャーギン双対 $\mathscr{G}^\wedge$ は、対称差を群演算とする有限グラフの群 $\mathscr{G}_0(V)$ と同型である。
• $E \in \mathscr{G}_0(V)$ に対し、ウォルシュ関数 $\chi_E$ は $L^2(\mathscr{G}(V))$ 内の完全正規直交基底をなしており、$\|\cdot\|_{\psi,2}$ 写像の下で $[0,1]$ 上の標準的ウォルシュ関数に写像される。
• すべての正規化された正定値関数 $f(G)$ は、$\mathscr{G}_0(V)$ 上の確率測度 $\mu$ を用いて $f(G) = \sum_{H \in \mathscr{G}_0(V)} (-1)^{|G \cap H|} \mu(H)$ の形に表せる。これはボホナーの定理に従う。