[論文レビュー] Integration by parts and vector differential forms in higher order variational calculus on fibred manifolds

Roman Matsyuk|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2014

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ベクトルバンドル値微分形式を用いて、ファイブドマンフォールド上での高階変分法の幾何的枠組みを提示する。積分による部分積分の再定式化は非線形グリーン公式を用いて行われる。作用の一次変分、オイラー＝ラグランジュ方程式、グリーン作用素の内在的で座標に依存しない表現は、標準的微分形式の引き戻しによって得られ、特定の場の配置に依存しない。

ABSTRACT

Infinitesimal variation of Action functional in classical (non-quantum) field theory with higher derivatives is presented in terms of well-defined intrinsic geometric objects independent of the particular field which varies. 'Integration by parts' procedure for this variation is then described in purely formal language and is shown to consist in application of nonlinear Green formula to the vertical differential of the Lagrangian. Euler-Lagrange expressions and the Green operator are calculated by simple pull-backs of certain vector bundle valued differential forms associated with the given variational problem.

研究の動機と目的

• 高階導関数を含む古典場理論における作用関数の一次変分を、座標に依存しない内在的表現で与えること。
• 場の配置に暗黙的に依存する転置作用素およびグリーン作用素の依存性を解消し、内在的な幾何的対象を同定すること。
• ベクトルバンドル値微分形式が、古典場理論における変分法の表現に特に適していることを示すこと。
• コラール分解公式を、変分微係数および関連作用素の計算を簡略化する幾何的対象の観点から再定式化すること。

提案手法

• 本稿は、底写像の置換に伴うベクトルバンドル値微分形式の引き戻しを扱うために、逆像函手を用いる。
• ラグランジアンとその変分を内在的に表現するために、垂直バンドル値の半基本的微分形式を導入する。
• このような形式のリー微分を用いて、幾何的に整合性のある方法で作用関数の無限小変分を計算する。
• 積分による部分積分の公式は、ラグランジアンの垂直微分に非線形グリーン公式を適用することで導出される。
• 転置作用素およびグリーン作用素は、標準的ベクトルバンドル値微分形式の引き戻しによって計算され、それらの場の配置への依存性が明示的かつ幾何的に表現される。
• この枠組みは、グローバル解析の原則に基づき、誘導バンドルと自然変換を用いて構築され、共変性と内在的妥当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高階場理論における作用関数の一次変分は、特定の場に依存しない内在的幾何的対象を用いてどのように表現できるか？
• RQ2 高階変分法における積分による部分積分の手続きには、どのような内在的幾何的意味があるか？
• RQ3 転置作用素およびグリーン作用素は、場の配置に明示的な依存性を持たせずに、一様な幾何的手続きによって計算可能か？
• RQ4 ベクトルバンドル値微分形式は、ファイブドマンフォールド上での変分法の統一的取り扱いをどのように容易にするか？
• RQ5 非線形グリーン公式は、標準的幾何的対象を用いて一次変分をどのように表現するかに果たす役割を果たすか？

主な発見

• 作用の一次変分は、半基本的形式（垂直バンドル値）を用い、ラグランジアンのリー微分と垂直微分を組み合わせて、内在的に表現される。
• 積分による部分積分は、ラグランジアンの垂直微分に非線形グリーン公式を適用することで再定式化され、この手続きに幾何的基盤が与えられる。
• オイラー＝ラグランジュ方程式は、ラグランジアンに関連する標準的ベクトルバンドル値微分形式の引き戻しとして導出される。
• グリーン作用素および転置作用素は、普遍的な幾何的形式の引き戻しによって計算され、それらの構築が特定の場の配置に依存しない。
• 本枠組みは、ファイブドマンフォールド上での高階変分法に対して、一貫性があり、内在的で、計算が明確な方法を提供する。
• ベクトルバンドル値微分形式および逆像函手の使用により、古典場理論における変分法の自然かつ共変な定式化が可能になる。