[論文レビュー] Integration by parts formula and applications for SDE driven by fractional Brownian motion

Xiliang Fan|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、分数ブラウン運動（fBm）によって駆動される確率微分方程式（SDE）に対して、新しい結合法を用いてドライバー型の部分積分公式を確立する。この公式からシフトハーナック不等式を導出し、解の分布がLebesgue測度に関して絶対連続であることを証明する。これは、非マルコフ的で非セミマルティンググレのノイズに対して、マリャビン計算を用いない密度存在の証明ルートを提供する。

ABSTRACT

By constructing a new family of successful couplings, the Driver-type integration by parts formula is established for the operator associated with stochastic differential equation driven by fractional Brownian motion. As applications, shift Harnack type inequalities are presented and then the absolute continuity of the solution is proved.

研究の動機と目的

• 分数ブラウン運動によって駆動されるSDEの文脈において、部分積分公式を導出するための新しい結合ベースの手法を開発すること。
• マリャビン計算の限界を克服し、非マルコフ的で非セミマルティンググレのノイズを持つSDEの解の密度存在を証明すること。
• シフトハーナック不等式を用いて、解の分布の絶対連続性を示すためのツールとして確立すること。
• fBmを用いたSDEの解の正則性および密度性に関する性質を研究するための、マリャビン計算に依存しない代替手法を提供すること。

提案手法

• 分数ブラウン運動に対するギルサノフ型変換を用いた測度変換により、新たな成功結合の族を構築する。
• 新しい確率測度の下で、結合されたSDE系にドライバーの部分積分公式フレームワークを適用する。
• マルティンゲール成分の分析とギルサノフ密度の有界変動部を用いて、部分積分公式を導出する。
• 部分積分公式とヤングの不等式、およびマルティンゲール成分の二次変動のモーメント推定を組み合わせることで、シフトハーナック不等式を確立する。
• 導出されたシフトハーナック不等式を用いて、解の分布がLebesgue測度に関して絶対連続であることを証明する。
• fBmを核作用素 $ K_H^* $ を通じてウィener過程で表現することにより、古典的確率積分の道具を用いることを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数ブラウン運動によって駆動されるSDEに対して、マルコフ的でもセミマルティンググレでもない場合に、ドライバー型の部分積分公式を確立できるか？
• RQ2 このような部分積分公式から、どのようにシフトハーナック不等式を導出できるか？
• RQ3 マリャビン計算に依存せずに、解の分布の絶対連続性を証明できるか？
• RQ4 結合法は、分数ブラウン運動の非マルコフ的性質をどのように扱うか？
• RQ5 得られる不等式における明示的な依存構造（時間TとハースパラメータHの観点から）は何か？その正則性に与える影響は？

主な発見

• 本稿は、新規の結合構成を用いて、分数ブラウン運動によって駆動されるSDEに対してドライバー型の部分積分公式を成功裏に確立した。
• 時間T、ハースパラメータH、シフトベクトルyに明示的な依存を持つシフトハーナック不等式が導出され、シフトパラメータに関して指数的減衰が示された。
• ハーナック不等式の定数は、時間T、ドリフトおよび拡散係数のホルダー連続性、およびハースパラメータHに依存する。
• シフトハーナック不等式は、解 $ X_T $ の分布がLebesgue測度に関して絶対連続であることを示唆する。
• 絶対連続性の結果は、マリャビン計算を用いずに証明されており、非セミマルティンググレ設定における密度存在のための新たな解析的道筋を提供する。
• 証明は、結合法、fBmに対するギルサノフの定理、およびギルサノフ密度のマルティンゲール成分のモーメント推定との相互作用に依存している。