[論文レビュー] Integration by parts formula for non-pluripolar product

Mingchen Xia|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 5被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、コンパクト・カーラー多様体上の非多様体的Monge–Ampère積に対して、部分積分の公式を確立し、[BEGZ10]の結果を一般化している。[BEGZ10]の結果は、有界でない部分が小さいポテンシャルにしか適用できなかったが、本論文では、Witt Nyströmの構成を用いてポテンシャルを$\mathbb{P}^N$との積に持ち上げ、Monge–Ampère測度の収束により一般ケースを既知の有界ケースに還元することで、一般化を達成している。

ABSTRACT

In this paper, we prove the integration by parts formula for the non-pluripolar product on a compact Kähler manifold. Our result generalizes the special case of potentials with small unbounded loci proved in [BEGZ10].

研究の動機と目的

• 非多様体的Monge–Ampère積の部分積分公式を、有界でない部分が小さいポテンシャルを超えて拡張すること。
• 文献に存在するギャップ、すなわち一般ケースが以前に確立されていなかったことの解消。
• [BEGZ10]の定理1.14の一般化を提供すること。この定理は、有界でない部分が小さいポテンシャルにしか適用できなかった。
• 元の多様体上の積分と$X \times \mathbb{P}^N$上の積分との間の直接的な関係を、極限的構成によって確立すること。
• 条件$[\varphi_1] = [\varphi_2]$および$[\psi_1] = [\psi_2]$のもとで、部分積分公式が成り立つことを証明すること。

提案手法

• Witt Nyströmの構成を用いて、各$\varphi \in \mathrm{PSH}(X,\theta)$を、$X \times \mathbb{P}^N$上に有界でない部分が小さいようなポテンシャルの族$\Phi_N[\varphi]$に持ち上げる。
• N \to \infty$のとき、$\Phi_N[\varphi]$のMonge–Ampère測度が$\varphi$の測度に収束することを用い、一般ケースを有界ケースに還元する。
• 有界でない部分が小さいポテンシャルに対して既知の部分積分公式（[BEGZ10]より）を、$X \times \mathbb{P}^N$上の持ち上げられたポテンシャルに適用する。
• 極化および同次化の技法を用いて、同じコhomology類をもつポテンシャルの差へ公式を拡張する。
• 係数$a_0, \dots, a_n$に関する多項式恒等式を確立し、両辺の$a_2 \cdots a_n$の係数を等しくすることにより、$X$上での公式を証明する。
• $\Sigma_N$上の二次計画法を用いて、最近接点射影の挙動を分析し、誤差関数$g_N$の漸近展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非多様体的Monge–Ampère積の部分積分公式は、有界でない部分が小さいポテンシャルを超えて拡張可能か？
• RQ2 幾何的持ち上げ構成を用いて、コンパクト・カーラー多様体上の一般の部分積分問題を、Bedford–Taylor理論に還元可能か？
• RQ3 条件$[\varphi_1] = [\varphi_2]$および$[\psi_1] = [\psi_2]$のもとで、$u = \varphi_1 - \varphi_2$および$v = \psi_1 - \psi_2$を含む積分の間の正確な関係は何か？
• RQ4 Witt Nyströmの構成は、部分積分の文脈でMonge–Ampère測度の収束をどのように促進するか？
• RQ5 $X \times \mathbb{P}^N$に持ち上げた後、係数比較の多項式的議論により、部分積分公式を回復可能か？

主な発見

• すべての$\varphi_1, \varphi_2, \psi_1, \psi_2 \in \mathrm{PSH}(X,\theta)$に対して、$[\varphi_1] = [\varphi_2]$および$[\psi_1] = [\psi_2]$が成り立つとき、部分積分公式が成り立つ。これは[BEGZ10]の定理1.14を一般化する。
• 公式は、Witt Nyströmの構成によりポテンシャルを$X \times \mathbb{P}^N$に持ち上げることで証明され、有界でない部分が小さくなるため、既知の有界ケースへの適用が可能になる。
• $\Phi_N[\varphi]$のMonge–Ampère測度が、適切な意味で元の$\varphi$のMonge–Ampère測度に収束することが示され、一般ケースへの還元が可能になる。
• Corollary 2.14に述べられているように、$X$上の積分と$X \times \mathbb{P}^N$上の積分との間の直接的な公式が確立される。
• 証明は、係数$a_0, \dots, a_n$に関する多項式恒等式に依拠しており、部分積分公式の両辺における$a_2 \cdots a_n$の係数が等しいことを示している。
• $g_N(x) = \min_{\alpha \in \Sigma_N} (x - \alpha)^2 - x^2$は連続的かつ区分的線形で、勾配が有界であることが示され、証明における漸近的解析が可能になる。