[論文レビュー] Integration by parts formulae for degenerate diffusion measures on path spaces and diffeomorphism groups

K. D. Elworthy, Y. Le Jan+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2019

Advanced Neuroimaging Techniques and Applications参考文献 1被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、コンパクトで滑らかな多様体上の経路空間および微分同相群における退化拡散測度に対する部分積分公式を、カマリュー＝マーティン型摂動による確率的フローの擬不変性から導出する。主な結果は、随伴作用とレジャン＝ワタナーベ接続を用いた微分同相群上での経路的（pathwise）部分積分公式であり、これは冗長なノイズをフィルタリングし、条件付き期待値と水平上昇を介して基本多様体上に標準的形をもたらす。

ABSTRACT

Integration by parts formulae are given for a class of measures on the space of paths of a smooth manifold $M$ determined by the laws of degenerate diffusions. The mother of such formulae, on the path space of diffeomorphism group of $M$ is shown to arise from a quasi-invariance property of measures determined by stochastic flows. From this the other formulae are derived by filtering out redundant noise using an associated LeJan-Watanabe connection.

研究の動機と目的

• コンパクトで滑らかな多様体上の経路空間における退化拡散測度に対する厳密な部分積分公式を確立すること。
• カマリュー＝マーティン経路による摂動の下で確率的フローの分布の擬不変性から、このような公式を導出すること。
• レジャン＝ワタナーベ接続を用いてSDEにおける冗長なノイズを幾何学的にフィルタリングし、基本多様体上に標準的公式を導出すること。
• 右不変構造を持つヒルベルト多様体上の無限次元微分同相群および右不変系へと枠組みを拡張すること。
• 拡散係数の像 bundle 上の適切な接続を用いた水平上昇と組み合わせた、経路的で幾何的な部分積分の定式化を提供すること。

提案手法

• 時間に依存する摂動をカマリュー＝マーティン経路で与えることにより、微分同相群の経路空間上での母なる部分積分公式を、確率的フローの分布の擬不変性から導出する。
• 逆フローの随伴作用とノイズ係数 $ K_t = X( heta_t)k_t $ によって駆動される、Diff M 上の右不変なODEを用いて摂動フロー $ H_t^ au $ を構成する。
• 像部分 bundle $ I(X) \subset TM $ 上のレジャン＝ワタナーベ接続 $ \check{\nabla} $ を用いて、冗長なノイズを除去する計量的相性のとれたアフィン接続を定義する。
• 条件付き期待値 $ \bar{V}_t^k $ を用いて、ドリフトを観測可能な経路空間に射影し、$ C_x([0,T];M) $ 上の標準的ベクトル場を得る。
• 結果として得られる部分積分公式を、マリントール部分 $ dW_t = X(\cdot)dB_t $ とベクトル場の再生核ヒルベルト空間 $ \mathcal{H} $ を用いて表現する。
• 水平過程 $ \bar{v}_t $ を接続を介して上昇させ、ドリフトを平行移動と確率的反開発の形で表現することで、最終的な公式 (17) を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 退化拡散測度がコンパクト多様体上の経路空間に作用する場合、特に拡散係数が正則でない場合に、部分積分公式を体系的に導出する方法は何か？
• RQ2 確率的フローの擬不変性が、カマリュー＝マーティン型摂動の下で、部分積分恒等式を生成する役割は何か？
• RQ3 SDEにおける冗長なノイズを幾何学的にどのようにフィルタリングし、経路空間上に観測可能で標準的なベクトル場を導出できるか？
• RQ4 レジャン＝ワタナーベ接続が、像部分 bundle $ I(X) $ 上に計量的相性のとれた水平上昇を構成する際に果たす正確な役割は何か？
• RQ5 有限次元の微分同相群から、右不変構造を持つ無限次元ヒルベルト多様体へと、部分積分公式を拡張可能か？

主な発見

• 確率的フローの法 $ \mu_{\cal D} $ は、$ \xi_t \mapsto \xi_t(H_t^\tau) $ という摂動に対して、$ C_{id}([0,T];\text{Diff} M) $ 上で擬不変であり、母なる部分積分公式 (5) を生成する。
• 公式 (5) は、逆フローの随伴作用に沿った $ C^1 $ 功能的 $ F $ の微分の期待値を、マリントール部分 $ dW_t $ との内積として表現し、群の経路空間上で標準的形を与える。
• レジャン＝ワタナーベ接続 $ \check{\nabla} $ を用いて冗長なノイズをフィルタリングすることで、公式 (17) が、初期接ベクトルの水平上昇 $ \bar{v}_t $ を用いて、基本多様体の経路空間 $ C_x([0,T];M) $ 上に導出される。
• 水平過程 $ \bar{v}_t $ は、接続 $ \check{\nabla} $ のリッチ曲率、ドリフト $ A $、および確率的反開発 $ \check{B}_t $ を駆動源とする確率的微分方程式 (15) を満たす。
• 最終公式 (17) は、$ C_x([0,T];M) $ 上の部分積分を、ノイズ $ X(\sigma(s))\dot{K}_s $ と接続によって重み付けられた反開発 $ \check{B}_t $ の平行移動との内積として表現する。
• $ A(x) \in I(X)_x $ のとき、水平過程 $ \bar{v}_t $ は、レヴィ＝チビタ接続と曲率項 $ \frac{1}{2}\check{\text{Ric}}^\#(\bar{v}_t) $ を含むSDE (16) を満たし、幾何的整合性が確認される。