[論文レビュー] Integration motivique sur les schemas formels

Julien Sebag|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2001

Logic, programming, and type systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、完全な残渣体を持つ完備離散付値環上の形式的スキームへモチビック積分を拡張し、形式的スキームのグリーンバーグスキーム上にモチビック測度を導入する。テイルに分岐する準同型写像に対して、変数変換の公式を確立し、デネフ＝ローザー理論を一般化するとともに、モチビック積分とp進積分を統一する。主な結果として、カバリ・ヤウ多様体上のゲージ形式のモチビック積分は、一般化されたファイバーにのみ依存し、バチレフの不変量とp進の場合のセールの不変量を回復する。

ABSTRACT

We develop the theory of motivic integration for formal schemes

研究の動機と目的

• 完備離散付値環と完全な残渣体を持つ代数的多様体から形式的スキームへのモチビック積分の一般化。
• 形式的スキームのグリーンバーグスキーム上にモチビック測度を定義し、弧スキーム構成を拡張する。
• この新しい設定において、テイルに分岐する準同型写像に対して変数変換の公式を確立する。
• バチレフのホッジ不変量やセールのp進体積といった古典的不変量を、モチビック積分によって回復する。
• カバリ・ヤウ多様体上のゲージ形式のモチビック積分が一般化されたファイバーにのみ依存することを示し、モチビック積分とp進積分を統一する。

提案手法

• 完備離散付値環 $R$ 上の形式的に滑らかな形式的スキーム $\mathcal{X}$ に対して、正標数における弧スキームの一般化であるグリーンバーグスキーム $\mathrm{Gr}(\mathcal{X})$ を定義する。
• シリンダー集合を用いて、グローテンディーク環の完成値をとるモチビック測度 $\mu_{\mathcal{X}}$ を構成する。
• 特に、ヤコビアン行列式の $\pi$-adic 価を含む指数的可積分関数の概念を導入する。
• 可測集合をシリンダーの有限和として定義し、テイル準同型写像における逆像および直接像に関して安定であることを証明する。
• テイル準同型写像 $h: \mathcal{Y} \to \mathcal{X}$ に対して、ヤコビアン行列式の位数を含む変数変換の公式を確立する。
• カバリ・ヤウ一般化ファイバー上のゲージ形式のモチビック積分が、任意の弱ネロンモデルの特別ファイバーの類に等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完備離散付値環と完全な残渣体を持つ代数的多様体から、特に残渣体が正標数である場合に、形式的スキームへのモチビック積分を拡張できるか。
• RQ2 体 $k$ から $R$ への準同型 $k \hookrightarrow R$ が存在しない状況において、弧スキーム構成をどのように一般化すべきか。
• RQ3 形式的スキーム設定における適切な可測集合および可積分関数の概念とは何か。
• RQ4 この一般化されたモチビック積分理論において、テイル準同型写像に対して変数変換の公式が成り立つか。
• RQ5 バチレフのホッジ数やセールのp進体積といった古典的不変量が、この枠組みの中でモチビック積分として回復可能か。

主な発見

• $p$-進体上のカバリ・ヤウ多様体上のゲージ形式のモチビック積分は、ゲージ形式の選び方に依存せず、任意の弱ネロンモデルの特別ファイバーの類に等しい、グローテンディーク環内でのクラスとして表される。
• $R$ 上に正則で滑らかなモデルを持つ$p$-進カバリ・ヤウ多様体に対して、正則バンドルの生成子のモチビック積分は、$\widehat{\mathcal{M}}$ 内の特別ファイバーの類に等しくなる。これはバチレフの結果を一般化する。
• $K$ が $\mathbf{Q}_p$ の有限拡大であるとき、ゲージ形式のモチビック積分は、[17] の補題 4.6.3 で示されるように、セールの $p$-進体積不変量に特殊化される。
• 形式的スキーム $\mathcal{X}$ のグリーンバーグスキーム $\mathrm{Gr}(\mathcal{X})$ は、弧スキーム $\mathcal{L}(X)$ を一般化する。$R = k[[t]]$ かつ $\mathcal{X}$ が $k$-多様体の $\pi$-adic 完備化であるとき、これらは同型である。
• テイル準同型写像 $h: \mathcal{Y} \to \mathcal{X}$ に対して、変数変換の公式が成り立ち、ヤコビアン行列式の $\pi$-adic 価がモチビック測度の指数に現れる。
• 理論は、古典的モチビック積分と $p$-進積分を統一する枠組みを提供する。[17] で示されているように。