[論文レビュー] Integration of generalized complex structures

Michael Bailey, Marco Gualtieri|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般化された複素構造の統合問題を、弱い正則的シンプレクティック群体（WHSG）を統合対象として導入することによって解決する。一般化された複素多様体がWHSGに統合可能であるための必要十分条件は、その基本的な実のポアソン構造が統合可能であることであることが証明され、微分と統合の関手的かつ本質的な同値性が確立される。

ABSTRACT

We solve the integration problem for generalized complex manifolds, obtaining as the natural integrating object a weakly holomorphic symplectic groupoid, which is a real symplectic groupoid with a compatible complex structure defined only on the associated stack, i.e., only up to Morita equivalence. We explain how such objects differentiate to give generalized complex manifolds, and we show that a generalized complex manifold is integrable in this sense if and only if its underlying real Poisson structure is integrable. Crucial to our solution are several new technical tools which are of independent interest, namely, a reduction procedure for Lie groupoid actions on Courant algebroids, as well as certain local-to-global extension results for multiplicative forms on local Lie groupoids. Finally, we implement our generalized complex integration procedure in several concrete examples.

研究の動機と目的

• 一般化された複素構造をグローバル幾何的対象に統合する長年の問題を解決すること。
• 一般化された複素構造とその基本的な実のポアソン構造の関係を明らかにすること、特に後者が古典的意味で統合可能でない場合に焦点を当てる。
• 一般化された複素多様体の横断的複素構造が、元の多様体上ではなく、モルita同値なポアソン多様体上で実現される枠組みを構築すること。
• 一般化された複素構造と弱い正則的シンプレクティック群体（WHSG）の間で、関手的かつ微分と統合の手続きを確立すること。

提案手法

• 弱い正則的シンプレクティック群体（WHSG）の概念を導入する。これは、ある正則的シンプレクティック群体と虚部の正則的シンプレクティック群体との間でシンプレクティックモルita同値性を持つ実のシンプレクティック群体として定義される。
• コルタン代数ダルの群体的作用に関する還元理論を発展させ、群体的作用から一般化された複素構造を構成可能にする。
• Baileyの正則的正規形定理（定理2.8）を用いて、一般化された複素多様体の点の周囲に局所的正則的シンプレクティック群体を構成する。
• 局所的リー群体上の乗法的微分形式の局所からグローバルへの拡張結果を適用し、局所的正則的シンプレクティック構造をグローバルなWHSGに拡張する。
• 形式的完備化とČech型群体商を活用して、実のシンプレクティック群体の正則的局所化を統合対象として構成する。
• WHSGから一般化された複素構造への微分関手を確立し、一意性と関手性を用いて、WHSGの圏と、統合可能な基本ポアソン構造を持つ一般化された複素構造の圏との間で本質的同値性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された複素構造の正しい統合対象は何か。これは複素幾何とシンプレクティック幾何の間を補間する構造である。
• RQ2 一般化された複素多様体の横断的複素構造は、その基本ポアソン構造とどのように関係しているか。特に、多様体がグローバルな複素構造を持たない場合に焦点を当てる。
• RQ3 一般化された複素構造がグローバル幾何的対象に統合可能となる条件は何か。その対象の性質は何か。
• RQ4 一般化された複素構造の統合は、基本的な実のポアソン構造の統合可能性とどのように関係するか。
• RQ5 統合手続きを関手的かつ本質的に行うことができるか。すなわち、すべての統合可能な一般化された複素構造が一意的なWHSGから生じるか。

主な発見

• 一般化された複素構造が弱い正則的シンプレクティック群体（WHSG）に統合可能であるための必要十分条件は、その基本的な実のポアソン構造が統合可能であることである。
• 統合対象であるWHSGは、ある正則的シンプレクティック群体と虚部の正則的シンプレクティック群体との間でシンプレクティックモルita同値性を持つ実のシンプレクティック群体であり、正則的シンプレクティックモルita同値性の意味で定義される。
• WHSGの微分により一般化された複素構造が得られ、この微分プロセスは、WHSGの圏と、統合可能な基本ポアソン構造を持つ一般化された複素構造の圏との間で本質的同値性を定義する関手を定義する。
• 正則的構造は元の多様体上ではなく、シンプレクティック葉のパラメータをとる微分スタックとして実現されるモルita同値なポアソン多様体上で定義される。
• 局所的正則的シンプレクティック群体はBaileyの正規形定理を用いて構成可能であり、これらは乗法的微分形式の拡張技術を用いてグローバルにWHSGに拡張される。
• 局所的リー群体上の乗法的微分形式は、その形式的完備化に一意に拡張可能であり、形式が局所的にシンプレクティックであれば、拡張後もグローバルにシンプレクティックのままである。