[論文レビュー] Integration of rough paths - the truncated variation approach

Rafał M. Łochowski|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、切り捨て変動を用いたリーマン＝スティルチェス積分の新しいアプローチを提示し、Loéve-Youngの不等式の改良版を導出し、有限の $p$-変動関数を厳密に含む新しいバナッハ空間 ${\cal U}^p([a;b])$ を確立する。この手法により、特に有限の二次変動を持たないが新しいノルム条件を満たすような、ブラウン運動のようなやや不規則な信号によって駆動される積分方程式について、より強い存在結果が得られる。

ABSTRACT

Using truncated variation techniques we obtain an improved version of the Loeve-Young inequality for the Riemann-Stieltjes integrals driven by rough paths. This allowed us to strenghten some result on the existence of solutions of integral equations driven by moderately irregular signals. We introduce also a new Banach space, containing as a proper subspace the paths with finite $p$-variation, and develop, in a systematic way, several parallel results for the paths from this space, obtained so far for the paths with finite $p$-variation. We start the paper with a general theorem on the existence of the Riemann-Stieltjes integral.

研究の動機と目的

• リーマン＝スティルチェス積分の存在条件を、総変動や $p$-変動よりも不規則性をより正確に捉える関数的である切り捨て変動機能に基づいて確立すること。
• 切り捨て変動の $\delta \to 0^+$ における漸近的挙動を $p$-変動の有限性と関連付けることで、Loéve-Youngの不等式を精緻化すること。
• 有限の $p$-有界変動関数の空間を厳密に含む新しいバナッハ空間 ${\cal U}^p([a;b])$ を導入し、その発展を図ること。
• 古典的な $p$-変動フレームワークを超えて、不規則な信号によって駆動される積分方程式の存在性および正則性に関する結果を拡張すること。

提案手法

• 関数 $f$ の $\delta/2$-均一近似の全変動の下界として、切り捨て変動 $\text{TV}^\delta(f,[a;b])$ を定義し、これは分割上での $\max\{|f(t_i)-f(t_{i-1})| - \delta, 0\}$ の和に等価である。
• 切り捨て変動に基づく一般存在定理（定理1）を証明し、全変動が有限である場合と $p$-変動が有限である場合を統合する。
• ノルム $\|f\|_{TV,p,[a;b]} := |f(a)| + \sup_{\delta>0} \left( \delta^{p-1} \text{TV}^\delta(f,[a;b]) \right)^{1/p}$ を導入し、これによりバナッハ空間 ${\cal U}^p([a;b])$ が定義される。
• 新しいノルムを用いて、二次変動が無限大であるにもかかわらず、ブラウン運動がほとんど確実に ${\cal U}^2([0;T])$ に属することを証明する。
• 積分方程式への応用として、切り捨て変動ノルムに基づく推移的評価を用い、${\cal U}^p$ 上での縮小写像原理を証明する。
• 定量的不等式（系2, 3）を確立し、$p$ および $q$-変動に依存する明示的な依存関係を持つ、Loéve-Youngの不等式のより強いバージョンを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 総変動や $p$-変動単独よりも、不規則性をより正確に捉える関数的である切り捨て変動を用いて、リーマン＝スティルチェス積分の存在を保証できるか？
• RQ2 切り捨て変動の $\delta \to 0^+$ における漸近的挙動は、$p$-変動の有限性とどのように関係するか？
• RQ3 有限の $p$-変動パスの空間よりも厳密に大きいが、確率積分に適したバナッハ空間を定義することは可能か？
• RQ4 新しい枠組みにより、$p$-変動積分に対するLoéve-Youngの不等式のより強いバージョンを得られるか？
• RQ5 不規則な信号によって駆動される積分方程式の解の存在性を、従来の知られていた関数空間よりも広い空間で証明できるか？

主な発見

• すべての $\delta > 0$ に対して切り捨て変動関数 $\text{TV}^\delta(f,[a;b])$ が有限であることは、$f$ が規制関数であることと同値であり、分割上での $\sum \max\{ |\Delta f| - \delta, 0 \}$ という明示的公式を持つ。
• 関数 $\|f\|_{TV,p,[a;b]} = |f(a)| + \sup_{\delta>0} \left( \delta^{p-1} \text{TV}^\delta(f,[a;b]) \right)^{1/p}$ は、空間 ${\cal U}^p([a;b])$ 上でノルムを定義し、これによりバナッハ空間が形成される。
• ${\cal U}^p([a;b])$ は、有限の $p$-変動関数の空間 ${\cal V}^p([a;b])$ を厳密に含む。これは、$[0;T]$ 上のブラウン運動の例によって示される。
• ブラウン運動 $B$ に対して、$V^2(B,[0;T]) = \infty$ a.s. であるが、$\|B\|_{TV,2,[0;T]} < \infty$ a.s. であるため、$B \in {\cal U}^2([0;T])$ である。
• より強いバージョンのLoéve-Youngの不等式が導出された（系2, 3）。これは、$p$-および $q$-変動信号に対するリーマン＝スティルチェス積分の既知の境界を改善する。
• 関数 $F$ がグローバルにリプシッツ的である場合、$x$ が ${\cal U}^p$ に属する場合に、$y(t) = y_0 + \int_a^t F(y(s)) \, dx(s)$ の解が ${\cal U}^p([a;b])$ に一意に存在することを証明した。ただし、時間の短さに関する縮小条件を満たすものとする。