[論文レビュー] Integration of semidirect product Lie 2-algebras

Yunhe Sheng, Chenchang Zhu|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2010

Advanced Topics in Algebra被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、リー代数の2項表現up to homotopyから生じる半直積リー2代数の有限次元統合を、$L_–$-準同型を厳密化し、厳密なリー2群を構成するためのバタフライ法を用いて行う。主な貢献は、無限次元モデルを避ける体系的かつ有限次元の統合手続きを提供することであり、これをオムニリー代数およびストリング型リー2代数に成功裏に適用した。

ABSTRACT

The semidirect product of a Lie algebra and a 2-term representation up to homotopy is a Lie 2-algebra. Such Lie 2-algebras include many examples arising from the Courant algebroid appearing in generalized complex geometry. In this paper, we integrate such a Lie 2-algebra to a strict Lie 2-group in the finite dimensional case.

研究の動機と目的

• 2項表現up to homotopyから生じる半直積リー2代数の有限次元統合を提供すること。
• $L_–$-準同型の統合における技術的課題、特に通常は無限次元解に至る厳密なリー2代数間の統合を克服すること。
• バタフライ法を用いて$L_–$-準同型を厳密化し、半直積リー2代数を統合する厳密なリー2群を構成すること。
• オムニリー代数$\mathfrak{gl}(V) \oplus V$の統合を具体的応用として提示すること。
• 以前に構成されたストリング型リー2代数を統合する非厳密リー2群の厳密化を提供すること。

提案手法

• 厳密なリー2代数間の$L_–$-準同型を、複雑な偏微分方程式を解く必要がない、厳密準同型のズーム・ザグに置き換えるバタフライ法を用いる。
• リー代数の交差モジュール$\mathrm{End}(\mathbb{V})$を、リー群の交差モジュール$\mathrm{Aut}(\mathbb{V})$に統合する。
• リー群の交差モジュールの厳密準同型から、群レベルでの半直積構成を用いて厳密なリー2群を構成する。
• バタフライ構成を用いて、リー代数レベルでの$L_–$-準同型を、群レベルでの厳密準同型に持ち上げる。
• 引き戻し構成を用いて、目的のリー2代数（例：オムニリー代数）をより大きな厳密リー2代数の部分リー2代数として実現する。
• 得られた厳密リー2群を微分することで、元のリー2代数を回復し、統合の正しさを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2項表現up to homotopyから生じる半直積リー2代数は、有限次元の厳密リー2群に統合可能か？
• RQ2 リー2代数の文脈において、$L_–$-準同型の無限次元統合問題はどのように回避可能か？
• RQ3 バタフライ法は、厳密リー2代数間の$L_–$-準同型の統合に有効に適用可能であり、有限次元のリー2群を生じるか？
• RQ4 オムニリー代数$\mathfrak{gl}(V) \oplus V$の明示的なリー2群統合は何か？
• RQ5 以前に構成された非厳密リー2群（ストリング型リー2代数を統合するもの）を厳密化することは可能か？

主な発見

• 本稿では、リー代数と2項表現up to homotopyからなる任意の半直積リー2代数を、有限次元の厳密リー2群に統合する構成がなされた。
• バタフライ法により、$L_–$-準同型が厳密準同型のズーム・ザグに変換され、直接的手法では失敗する有限次元統合が可能となった。
• オムニリー代数$\mathfrak{gl}(V) \oplus V$の統合は、引き戻しと群レベルでの半直積構成を用いて明示的に構成された厳密リー2群として実現された。
• オムニリー代数に対する結果のリー2群は、$G(\mathfrak{gl}(V) \times V)/\mathcal{G} \cong G(V)$と同値であり、群的構造が確認された。
• ストリング型リー2代数$\mathbb{R} \to \mathfrak{g} \oplus \mathfrak{g}^*$を統合するリー2群の厳密化が、本構成によって提供された。これは、以前は非厳密であった。
• 構成された厳密リー2群を微分することで、元のリー2代数が回復され、統合が正しくかつ完全に実現されたことが確認された。