[論文レビュー] Integration of twisted Dirac brackets

Henrique Bursztyn, Marius Crainic+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多様体 M 上の源単連結なねじれ付きプレシンプレクティック群コホーショントと、閉3形式 φ によって定まるねじれ付きディラック構造の間の対応を確立する。ねじれ付きプレシンプレクティック群コホーショントにおける乗法的2形式が φ に関して相対的に閉じている場合、それらは φ によるねじれ付きコウラン・ブラケットに関して代数的および微分的条件を満たす T*M へのリー代数ダミー写像に対応し、これはポisson-シンプレクティック群コホーショント双対性をねじれ設定に一般化し、準ハミルトニアン空間および群値運動量写像の理論を統一する。

ABSTRACT

The correspondence between Poisson structures and symplectic groupoids, analogous to the one of Lie algebras and Lie groups, plays an important role in Poisson geometry; it offers, in particular, a unifying framework for the study of hamiltonian and Poisson actions. In this paper, we extend this correspondence to the context of Dirac structures twisted by a closed 3-form. More generally, given a Lie groupoid $G$ over a manifold $M$, we show that multiplicative 2-forms on $G$ relatively closed with respect to a closed 3-form $ϕ$ on $M$ correspond to maps from the Lie algebroid of $G$ into the cotangent bundle $T^*M$ of $M$, satisfying an algebraic condition and a differential condition with respect to the $ϕ$-twisted Courant bracket. This correspondence describes, as a special case, the global objects associated to twisted Dirac structures. As applications, we relate our results to equivariant cohomology and foliation theory, and we give a new description of quasi-hamiltonian spaces and group-valued momentum maps.

研究の動機と目的

• ポアソン構造とシンプレクティック群コホーショントの対応を、閉3形式 φ によってねじれられるディラック構造の状況に拡張すること。
• 群コホーショントに乗法的2形式を備えたものとして、φ に関して相対的に閉じているものとして、ねじれ付きプレシンプレクティック群コホーショントを定義し、特徴づけること。
• 群コホーショントのリー代数ダミーから T*M への写像で、φ によるねじれ付きコウラン・ブラケットに関して代数的および微分的条件を満たすものが、このようなねじれ付きプレシンプレクティック群コホーショントを分類することを示すこと。
• ねじれ付きディラック幾何の枠組みの中で、準ハミルトニアン空間および群値運動量写像の理論を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• φ によるねじれ付きプレシンプレクティック群コホーショントの概念を導入し、群コホーショント G 上の乗法的2形式 ω が、s と t をそれぞれ始点と終点写像として、dω = s*φ − t*φ を満たすものとする。
• このような群コホーショント（同型を除いて）と、底多様体 M 上の φ によるねじれ付きディラック構造との間に一対一対応を確立する。
• 相対的に φ に関して閉じた乗法的2形式の無限小対応を、φ によるねじれ付きコウラン・ブラケットに関して代数的条件と微分的条件を満たす Lie 代数ダミー写像 A → T*M として特徴づける。
• [13, Sec. 4.2] の再構成技術を用いて、無限小データからグローバルな乗法的2形式を回復する。
• ディラック構造の実現への応用を行い、カルタン・ディラック構造のプレシンプレクティック実現が、群値運動量写像を備えた準ハミルトニアン H-空間にちょうど一致することを示す。
• 変換群コホーショント H ⋉ H が自然なねじれ付きプレシンプレクティック構造を備えていることを示し、これによりダブル D(H) と AMM 群コホーショントが統合的に得られることを明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン構造とシンプレクティック群コホーショントの対応を、閉3形式 φ によってねじれられるディラック構造の状況に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 リー群コホーショント上の乗法的2形式が、底多様体上に φ によるねじれ付きディラック構造を誘導するために満たすべき条件は何か？
• RQ3 準ハミルトニアン H-空間および群値運動量写像は、ねじれ付きプレシンプレクティック群コホーショントおよびカルタン・ディラック構造とどのように関係しているか？
• RQ4 φ によるねじれ付きコウラン・ブラケットは、群コホーショント上の乗法的2形式を分類するために果たす役割は何か？
• RQ5 正則なディラック構造の分類クラスが整数的であるための条件は何か？ そしてこれはモノドロミー群や葉ごとの周期とどのように関係するか？

主な発見

• 源単連結な φ によるねじれ付きプレシンプレクティック群コホーショントと、多様体 M 上の φ によるねじれ付きディラック構造との間には、全単射の対応が確立された。
• 群コホーショント上の乗法的2形式で、φ に関して相対的に閉じているものと、φ によるねじれ付きコウラン・ブラケットに関して代数的条件と微分的条件を満たす Lie 代数ダミー写像 A → T*M との間には、正確な対応が成立する。
• 群 H の共役作用に関連する変換群コホーショント H ⋉ H は、自然なねじれ付きプレシンプレクティック構造を備えており、これは H 上のカルタン・ディラック構造を統合する。
• カルタン・ディラック構造のプレシンプレクティック実現は、群値運動量写像を備えた準ハミルトニアン H-空間と同値である。実現写像は運動量写像に対応する。
• φ によるねじれ付き正則ディラック構造の分類クラス c(L,φ) は c(L,φ) = c(L) + [φ̄] を満たし、[φ̄] が H²(F;ν*) で消えるならば、G(L,φ) ≅ G(L) が成り立ち、この同型はねじれ付き形式を ω_L + pr*ω_ψ に写像する。
• c(L) の整数性は、c(L) のすべての葉ごとの周期が消え、すべてのモノドロミー群 N_x(L) が消えることと同値である。