[論文レビュー] Integration on the space of Connections Modulo Gauge Transformations

Abhay Ashtekar, Donald Marolf+1 more|ArXiv.org|Mar 22, 1994

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、ゲージ理論および重力理論の非摂動的量子化に不可欠な、ゲージ変換で割った接続空間 $\mathcal{A}/\mathcal{G}$ 上の統合理論を開発する。ホロノミー代数のゲルファンドスペクトル $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ を構成し、シリンダ測度を用いることで、スペクトル上の正規Borel測度と正の線形汎関数の間の一対一対応を確立し、ゲージ不変な量子状態のための厳密なヒルベルト空間構造を実現する。

ABSTRACT

A summary of the known results on integration theory on the space of connections modulo gauge transformations is presented and its significance to quantum theories of gauge fields and gravity is discussed. The emphasis is on the underlying ideas rather than the technical subtleties.

研究の動機と目的

• 接続をゲージ変換で割った無限次元空間 $\mathcal{A}/\mathcal{G}$ 上の統合理論を提供することにより、非摂動的量子化に不可欠な理論的枠組みを構築すること。
• ゲージ不変な量子状態の内積を計算するための適切な測度 $\mu$ を $\mathcal{A}/\mathcal{G}$ 上に定義する問題を解決すること。
• 有限次元射影上のシリンダ測度と、ゲルファンドスペクトル $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 上の正規Borel測度との間の厳密な対応関係を確立すること。
• 区分的解析的ループがホロノミー代数の整合的な分解とスペクトルの特徴づけを可能にする役割を明確にすること。
• リースの表現定理がホロノミー代数に適用可能であり、量子状態のためのヒルベルト空間構造を生み出すこと。

提案手法

• 区分的解析的ループ上のウィルソンループ汎関数からホロノミー代数 $\overline{\mathcal{HA}}$ を構成し、重複しない部分に分解しても不変であることを保証する。
• スペクトル $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ を $\overline{\mathcal{HA}}$ 上の乗法的特徴（キャラクター）の空間として定義し、ゲルファンド位相を備えることで、コンパクトかつハウスドルフ空間とする。
• ゲルファンド変換を用いて $\overline{\mathcal{HA}}$ を $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 上の連続関数の代数 $C(\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}})$ と同一視する。
• リースの表現定理を適用し、$\overline{\mathcal{HA}}$ 上の正の線形汎関数と $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 上の正規Borel測度との間の一対一対応を確立する。
• 有限次元射影上の一貫したシリンダ測度の族 $\{\mu_{S^*}\}$ を構成し、それを $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 上の唯一の正規Borel測度 $\hat{\mu}$ に拡張する。
• すべての循環的 $\star$-表現は、$L^2(\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}, \hat{\mu})$ 上の乗法作用素による表現とユニタリ同倣であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接続をゲージ変換で割った無限次元空間 $\mathcal{A}/\mathcal{G}$ 上に一貫した測度をどのように定義できるか？
• RQ2 区分的解析的ループが、定義されたホロノミー代数とそのスペクトルを可能にする役割は何か？
• RQ3 ゲルファンドスペクトル $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ と元の空間 $\mathcal{A}/\mathcal{G}$ との関係は何か？なぜスペクトルはより大きいのか？
• RQ4 ホロノミー代数にリースの表現定理を適用することで、量子状態のためのヒルベルト空間を構成できるか？
• RQ5 有限次元射影上の一貫したシリンダ測度の族が、全スペクトル上の正規Borel測度にどのように拡張できるか？

主な発見

• スペクトル $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ はコンパクトかつハウスドルフ空間であり、自然埋め込み $\delta$ による $\mathcal{A}/\mathcal{G}$ の像を真に含む。これは、滑らかな接続では表現されない一般化された接続が存在することを意味する。
• $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ の要素と、ホープ群 $\mathcal{HG}_{x_0}$ からゲージ群 $G$ へのホモロジー類の同値類（グローバルゲージ変換で同一視）との間には一対一対応がある。
• ホロノミー代数 $\overline{\mathcal{HA}}$ は、ゲルファンド変換により $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 上の連続関数の代数 $C(\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}})$ と同型である。
• $\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}$ 上の任意の正規Borel測度 $\hat{\mu}$ は、$\mathcal{A}/\mathcal{G}$ の有限次元射影上の一意な一貫したシリンダ測度族 $\{\mu_{S^*}\}$ の拡張として得られる。
• $\overline{\mathcal{HA}}$ のすべての循環的 $\star$-表現は、$L^2(\overline{\mathcal{A}/\mathcal{G}}, \hat{\mu})$ 上の乗法作用素による表現とユニタリ同倣である。これは、量子状態のためのヒルベルト空間を提供する。
• この構成により、$\hat{\mu}$ による積分を用いてゲージ不変な波動関数 $\Psi(A)$ の内積を厳密に定義する枠組みが得られ、ヤンミルズ理論および重力理論の非摂動的量子化が可能になる。