[論文レビュー] Integration on valuation fields over local fields

Matthew Morrow|ArXiv.org|Dec 13, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、残留体が局所体（例：ℝ、ℂ、非アーベル局所体）である価値体上の、平行移動不変性をもつ積分、測度および調和解析の理論を構築する。複素群代数 ℂΓ 取りうるハール型積分を構成し、フェーセンコの研究を一般化し、2次元局所体におけるゼータ積分および関数方程式への応用を可能にする。

ABSTRACT

We present elements of a theory of translation-invariant integration, measure, and harmonic analysis on a valuation field with local field as residue field. This extends the work of Fesenko. Applications to zeta integrals for two-dimensional local fields are then considered.

研究の動機と目的

• 局所体を残留体とする価値体上の平行移動不変積分の厳密な理論を構築し、フェーセンコの枠組みを拡張すること。
• 調和解析およびゼータ積分理論を、特にアーベル型の場合を含め、高次元局所体へ一般化すること。
• 持ち上げ変換を用いて、2次元局所体上のゼータ積分の解析接続および関数方程式を確立すること。
• 残留体上に修正されたフーリエ変換（∗-変換）を定義し、シュワーツ型空間上でその自己準同型性を証明すること。
• 位相的完備性に依存しない、F×F および GLn(F) 上の積分の新しいアプローチを提示し、これにより積分の定式化を可能にする。

提案手法

• 残留写像を介して、F̄ → ℂ なるハール可積分関数 f を F に持ち上げ、f⁰⁰ を得る。その後、平行移動 f⁰⁰(x+a) およびスケーリング f⁰⁰(αx) を考察する。
• 線形独立性に関する結果（命題 1.6）を用いて、このような持ち上げ関数の線型包上に ℂΓ 取りうる値をとる積分を定義し、その定義が正当化されることを保証する。
• 一般化された調和解析の枠組みを用いて、L¹ 関数でない関数に対しても積分を拡張し、ヴェイルの構成に類似した ∗-変換を導入する。
• ∗-変換を用いて、残留体 F̄ における局所ゼータ積分理論を価値体 F へ持ち上げ、関数方程式を証明する。
• ℂ(Γ) の構造および ℂ 上の正則性を用いて、恒等定理を応用し、関数の一意性および解析接続を証明する。
• F̄×F̄ からの持ち上げを用いて、F×F および F××F× 上に積分の積の理論を構築し、|x|⁻¹|y|⁻¹ を用いた測度を定義し、ℂ(Γ) に値をとる関数への積分を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相的完備性がなくても、局所体を残留体とする価値体上で、平行移動不変積分をどのように厳密に定義できるか。
• RQ2 残留体がアーベル型（例：ℝ または ℂ）である場合、F 上の積分の構造はどのようなものか。また、フェーセンコの主張とどのように対比されるか。
• RQ3 2次元局所体上のゼータ積分を、残留体から持ち上げることで、解析接続および関数方程式を保ったまま定義可能か。
• RQ4 ∗-変換がゼータ積分の関数方程式を確立する上で果たす役割は何か。また、シュワーツ空間上で自己準同型であるか。
• RQ5 この持ち上げ法を用いて、GLn(F) および F××F× 上の積分をどのように構成できるか。また、どのような不変性を満たすか。

主な発見

• ∫^F は、持ち上げ関数の空間上の ℂΓ-線形汎関数としてwell-definedであり、∫^F(f⁰⁰(x+a)) = ∫_F̄ f(u) du · X^γ を満たす適切な γ が存在する。
• F = ℂ(t) の場合、St^n + t^{n+1}ℂ[t] は ℝ(X) 内で μ(S)X^n の測度を割り当てられ、Lebesgue 測度を群代数へ一般化する。
• F̄ 上の ∗-変換は、関数方程式 Z(g*, ω⁻¹, 2−s) = ε_*(ω,s)Z(g, ω, s) を満たし、すべての擬キャラクター ω に対して明示的な ε 要素が計算可能である。
• ∗-変換がシュワーツ空間 𝒮(K) 上で自己準同型であることが証明され、これは文献において以前に観察されていなかった結果である。
• F××F× 上のゼータ積分は、∫^F××F× f(x,y)χ∘𝐭(x,y)|𝐭(x,y)|^s char_T(x,y) d×x d×y として定義され、解析接続および関数方程式が確立されている。
• 本手法により、F×F 上の反復積分に対してフォビニの定理が成立し、GL_n(F) 上に平行移動不変積分が存在することを証明し、フェーセンコの結果を拡張する。