[論文レビュー] Integration with respect to model-free price paths with jumps

Rafał M. Łochowski|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2015

Economic theories and models参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ジャンプを含む、ジャンプの成長が緩やかな条件下で、適応的で càglàd な戦略 $ G $ と、càdlàg な価格経路に関する経路に沿った確率積分 $ G \cdot S $ を導入する。積分は単純積分の極限として定義され、特定の半マルティンゲールまたは確率モデルを仮定せず、モデルフリーの統合を可能にする。これにより、ジャンプ過程への経路に沿った積分が拡張される。

ABSTRACT

For every adapted, càglàd process (strategy) $G$ and typical càdlàg price paths whose jumps satisfy some mild growth condition we define integral $G\cdot S$ as a limit of simple integrals.

研究の動機と目的

• 半マルティンゲールまたは確率的仮定に依存せずに、ジャンプを含む価格経路への経路に沿った確率積分を拡張すること。
• 価格過程 $ S $ が càdlàg でジャンプの成長が制御可能であるとき、適応的で càglàd な戦略 $ G $ に対して意味のある積分 $ G \cdot S $ を定義すること。
• 不連続な価格変動を伴う市場における、厳密でモデルフリーの確率積分の枠組みを確立すること。
• 通常は連続経路または半マルティンゲール構造を仮定するが、既存の経路に沿った積分理論を、ジャンプを含む過程に一般化すること。

提案手法

• 単純戦略による càglàd 戦略 $ G $ の近似から構成されるリーマン＝スティルチェス和の極限として、積分 $ G \cdot S $ を定義する。
• 価格経路 $ S $ の càdlàg 性質を用いて、単純積分の収束における正規性を保証する。
• $ S $ のジャンプに緩やかな成長条件を課して、変動を制御し、積分の収束を保証する。
• 確率的仮定を避けるために、経路の正規性と近似にのみ依存する経路的技法を適用する。
• $ G $ の càglàd 性質を活用して、$ S $ のジャンプ構造と整合性を保ち、予測可能性を確保する。
• ジャンプの成長条件に応じて、積分の収束を一様または局所的意味で確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 価格経路にジャンプを含む場合でも、戦略に対して一貫した経路に沿った確率積分を定義できるか？
• RQ2 価格経路のジャンプ挙動にどのような条件を課すと、単純積分近似の収束が保証されるか？
• RQ3 連続経路を超えて、càdlàg な価格過程にジャンプを含む状況にまで、モデルフリーの統合をどのように拡張できるか？
• RQ4 $ S $ が半マルティンゲールであるか、確率測度を指定しない状況でも、$ G \cdot S $ を定義することは可能か？
• RQ5 戦略 $ G $ と価格経路 $ S $ にどのような正規性条件を課すと、積分が極限として存在するか？

主な発見

• 任意の適応的で càglàd 戦略 $ G $ と、ジャンプの成長が緩やかな条件下にある任意の càdlàg 価格経路 $ S $ に対して、積分 $ G \cdot S $ は単純積分の極限として存在する。
• 構成は完全に経路に依存しており、確率測度や半マルティンゲール構造を必要とせず、モデルフリーの解析を可能にする。
• ジャンプによる変動が無限大であっても、ジャンプの成長が制御されていれば、積分は適切に定義される。
• $ G $ の càglàd 性質により、$ S $ のジャンプ時刻と整合性が保たれ、近似スキームの収束が促進される。
• 古典的な経路に沿った積分理論をジャンプ過程に一般化し、モデルフリー確率積分の範囲を拡張する。
• 本フレームワークは、確率的仮定を必要とせず、不連続な価格変動を伴う市場におけるアービタージュフリーな価格設定とヘッジ理論の構築を支援する。