[論文レビュー] Interacting electrons, Density Functional Theory, and Quantum Merlin Arthur

Norbert Schuch, Frank Verstraete|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、密度汎関数理論（DFT）における効率的な普遍汎関数が存在すれば、任意の量子計算複雑性クラスQMAの問題を解けることになることを示している—これは、量子コンピュータがNP問題を多項式時間で解けるようになる限り、そのような汎関数が有効に存在し得ないことを示唆している。この結果は、DFTにおける普遍汎関数の開発に対して、量子計算複雑性理論を理論的枠組みとして用いることで、根本的な複雑性的障壁を確立するものである。

ABSTRACT

One of the central problems in quantum mechanics is to determine the ground state properties of a system of electrons interacting via the Coulomb potential. Since its introduction by Hohenberg, Kohn, and Sham, Density Functional Theory (DFT) has become the most widely used and successful method for simulating systems of interacting electrons, making their original work one of the most cited in physics. In this letter, we show that the field of computational complexity imposes fundamental limitations on DFT, as an efficient description of the associated universal functional would allow to solve any problem in the class QMA (the quantum version of NP) and thus particularly any problem in NP in polynomial time. This follows from the fact that finding the ground state energy of the Hubbard model in an external magnetic field is a hard problem even for a quantum computer, while given the universal functional it can be computed efficiently using DFT. This provides a clear illustration how the field of quantum computing is useful even if quantum computers would never be built.

研究の動機と目的

• 外部場にさらされた電子の相互作用系の基底状態エネルギーを求める計算複雑性を調査すること。
• DFTにおける効率的な普遍汎関数が、内在する量子多体系の複雑性を克服できるかどうかを評価すること。
• DFTの実現可能性と量子計算の能力、特にQMAとの関係を確立すること。
• 外部磁場中の Hubbard モデルを解く問題が、量子コンピュータでさえも QMA-ハードであることを示すこと。
• 効率的なDFT記述が存在すれば、量子複雑性クラスが崩壊することを示し、その非実現性を示すこと。

提案手法

• 論文は、相互作用電子系の代表的モデルとして、外部磁場を含む Hubbard モデルを分析する。
• このモデルの基底状態エネルギーの計算が、QMA-完全問題であることを特定する。これは、量子計算複雑性クラスQMAに属する中で最も難しい問題の一つであることを意味する。
• DFTが普遍汎関数が既知であれば基底状態エネルギーを効率的に計算できることを用いる。
• Hubbard モデルの QMA-ハード性と、普遍汎関数のもとでのDFTの効率性を組み合わせることで、そのような汎関数が有効に計算可能であると仮定すると、複雑性理論的矛盾が生じることを導出する。
• この議論は、QMA ⊆ BQP でないという仮定に依拠しており、これは量子複雑性理論において広く信じられている予想である。
• 背理法により結論が導かれる：効率的な普遍汎関数が存在すれば、QMA問題を多項式時間で解けるようになり、既知の複雑性境界に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部磁場中の Hubbard モデルの基底状態エネルギーは、普遍汎関数が既知であればDFTによって効率的に計算可能か？
• RQ2 クーロンポテンシャル中での相互作用電子系の基底状態エネルギーを求める計算複雑性は何か？
• RQ3 DFTにおける効率的な普遍汎関数の存在は、QMAに属するすべての問題が多項式時間で解けることを意味するか？
• RQ4 Hubbard モデルの基底状態エネルギーを求める問題は QMA-完全か？
• RQ5 QMA-ハード性の結果は、DFTの実用的および理論的発展にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 外部磁場中の Hubbard モデルの基底状態エネルギーの計算は QMA-完全であり、これは量子コンピュータで解ける問題の中で最も難しいものの一つである。
• 効率的なDFT普遍汎関数があれば、QMAに属するあらゆる問題を多項式時間で解けるようになる。
• これは、効率的な普遍汎関数の存在が、量子複雑性階層を崩壊させることを意味し、広く受け入れられた複雑性理論的仮定に反する。
• ゆえに、QMA ⊆ BQP でない限り、効率的な普遍汎関数は存在し得ない。
• この結果は、量子計算複雑性に基づいた、DFTにおける根本的な理論的制限を確立する。
• この知見は、実際に量子コンピュータを構築しなくても、量子複雑性理論が電子構造理論の限界を理解する手がかりを提供することを示している。