[論文レビュー] Interacting Quantum Fields on de Sitter Space

J. C. A. Barata, Christian D. Jäkel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2016

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 154被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、de Sitter空間上でのP(ϕ)²モデルの厳密な数学的構成を提供し、ユニタリ表現構造、KMS熱的状態、局所的代数的性質を確立する。新規のOsterwalder-Schröder再構成を用いて赤外発散の不在を証明し、有限な信号伝播を確認するとともに、相互作用を有する量子場が共変な運動方程式を満たすことを示し、de Sitter空間上での完全な構成的相対論的QFTとして、完全な共変性と安定性を備えた最初の例である。

ABSTRACT

In 1975 Figari, Høegh-Krohn and Nappi constructed the P(phi)_2 model on the de Sitter space. Here we complement their work with new results, as well as by connecting this model to various areas of mathematics. In particular, i.) we discuss the causal structure of de Sitter space and the induces representations of the Lorentz group. We show that the UIRs of SO_0(1,2) for both the principal and the complementary series can be formulated on Hilbert spaces whose functions are supported on a Cauchy surface, ii.) we describe the free classical dynamical system in both its covariant and canonical form, and present the associated quantum one-particle KMS structures in the sense of Kay, iii.) we discuss the localisation properties of one-particle wave functions and how these properties are inherited by the algebras of local observables. In addition, we describe the relations between the modular objects (in the sense of Tomita-Takesaki theory) associated to wedge algebras and the representations of the Lorentz group, iv.) we connect the representations of SO(1,2) to unitary representations of SO(3) on the Euclidean sphere, and discuss how the P(phi)_2 interaction can be represented by a rotation invariant vector in the Euclidean Fock space. We present a novel Osterwalder-Schrader reconstruction theorem, which shows that physical infrared problems are absent on de Sitter space, v.) we explain how the generators of the boosts and the rotations for the interacting quantum field theory arise arise from the stress-energy tensor. Finally, we show that the interacting quantum fields satisfy the equations of motion in their covariant form. In summary, we argue that the de Sitter P(phi)_2 model is the simplest and most explicit relativistic quantum field theory, which satisfies basic expectations, like covariance, particle creation, stability and finite speed of light.

研究の動機と目的

• 1975年のde Sitter空間上でのP(ϕ)²モデルの構成を完成・拡張し、厳密な数学的枠組みを提供すること。
• Cauchy面に台を持つヒルベルト空間上にSO₀(1,2)のユニタリ無限小表現（UIR）が実現可能であることを確立し、ローレンツ対称性とユークリッド幾何学を結びつけること。
• P(ϕ)²相互作用が、ローレンツ不変性を保証するように、ユークリッドフォック空間内の回転不変ベクトルとして表現可能であることを示すこと。
• 新規のOsterwalder-Schröder再構成定理を用いて、de Sitter空間上での赤外発散の不在を証明すること。
• 相互作用を有する量子場理論がHaag–Kastler公理を満たし、共変な運動方程式を満たすことを確認すること。

提案手法

• ローレンツ群SO₀(1,2)の誘導表現を、2次曲面および光錐上に適用し、主系列および補助系列の両方のUIRを構成する。
• フーリエ＝ヘルガソン変換を用いて、2次曲面上の関数と時間ゼロの円S¹上の関数を関連づけ、de Sitter空間上での調和解析を可能にする。
• モジュラー理論を用いて1粒子のKMS構造を構成し、熱的平衡状態と時間並進対称性、反射正則性を結びつける。
• 相互作用を有する真空状態を、ユークリッド経路積分のアプローチにより再構成し、相互作用項をユークリッドフォック空間内の回転不変ベクトルとして表現する。
• ストレステンソルから局所代数のネットを導出し、Wightman関数の波フロント集合を用いて有限な信号伝播を証明する。
• Tomita-Takesakiモジュラー理論を楔型代数に適用し、モジュラー自己同型をローレンツブーストと結びつけ、反射正則性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SO₀(1,2)のユニタリ無限小表現は、de Sitter空間内のCauchy面上に台を持つ関数を備えたヒルベルト空間上に実現可能か？
• RQ2 P(ϕ)²相互作用は、ローレンツ不変性を保ちつつ、赤外発散の不在を保証する形で、どのように表現可能か？
• RQ3 楔型代数のモジュラー対象とde Sitter空間上でのローレンツ群表現との間の明確な関係は何か？
• RQ4 de Sitter空間上での相互作用を有する量子場理論は、Haag–Kastler公理（有限な信号伝播を含む）を満たすか？
• RQ5 P(ϕ)²モデルに対して、構成的Osterwalder-Schröder再構成を定式化可能か？また、赤外問題を排除できるか？

主な発見

• 主系列および補助系列のSO₀(1,2)のUIRは、Cauchy面上に台を持つ関数を備えたヒルベルト空間上に実現され、ローレンツ対称性の幾何的実現が確立された。
• 1粒子のKMS構造はモジュラー理論により構成され、モジュラー自己同型群は時間並進に対応し、熱的平衡状態の性質が確認された。
• 相互作用を有する真空状態ベクトルが、ユークリッド回転群SO(3)に対して不変であることが示され、相互作用項がユークリッドフォック空間内で回転不変であることが証明された。
• 新規のOsterwalder-Schröder再構成定理が証明され、de Sitter空間上では赤外問題が生じないことが示されたが、これはミンコフスキー空間とは対照的である。
• 局所代数のネットはHaag–Kastler公理を満たし、ブーストおよび回転の生成子がストレステンソルから再構成可能であり、共変性が確認された。
• Wightman関数の波フロント集合およびストレステンソルの構造を用いて、相互作用を有する量子場が共変な運動方程式を満たすことが検証された。