[論文レビュー] Interaction and modular invariance of strings on curved manifolds

Stephen Hwang, Patrick J. Roberts|ArXiv.org|Nov 17, 1992

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、モジュラー不変性と相互作用を焦点に、曲がった多様体上のストリング伝播を調査する。特に、SU(1,1)群多様体とそのユークリッドコセットSU(1,1)/U(1)を対象とする。非ユニタリ状態を分離する離散表現を用いて、2つのクラスのストリング理論を構築し、モジュラー不変な分配関数を導出する。SU(1,1)のケースでは中心電荷c=9,6,5,9/2,…とc=9,15,21,27,…を示し、後者の方は2を引いたものがGervais-Neveu系列c−2=7,13,19,25…と一致し、c=1ストリングと同様にリウヴィル理論との関係を示唆する。コセット理論では分配関数が収束し、臨界2次元ブラックホールを含む。

ABSTRACT

We review and present new results for a string moving on an $SU(1,1)$ group manifold. We discuss two classes of theories which use discrete representations. For these theories the representations forbidden by unitarity decouple and, in addition, one can construct modular invariant partition functions. The partion functions do, however, contain divergencies due to the time-like direction of the $SU(1,1)$ manifold. The two classes of theories have the corresponding central charges $c=9,6,5,9/2,\ldots$ and $c=9,15,21,27,\ldots$. Subtracting two from the latter series of central charges we get the Gervais-Neveu series $c-2=7,13,19,25$. This suggests a relationship between the $SU(1,1)$ string and the Liouville theory, similar to the one found in the $c=1$ string. Modular invariance is also demonstrated for the principal continous representations. Furthermore, we present new results for the Euclidean coset $SU(1,1)/U(1)$. The same two classes of theories will be possible here and will have central charges $c=8,5,4,\dots$ and $c=8,14,20,26,\ldots$, where the latter class includes the critical 2d black hole. The partition functions for the coset theory are convergent.(Talk presented by S.H. at the 16'th Johns Hopkins' Workshop, Göteborg, Sweden, June 8-10, 1992)

研究の動機と目的

• 曲がった多様体上のストリングダイナミクス、特にSU(1,1)群多様体とそのユークリッドコセットSU(1,1)/U(1)におけるモジュラー不変性の文脈で研究すること。
• 非ユニタリ表現を分離する離散表現を用いてストリング理論を構築すること。
• SU(1,1)の時間的次元に起因する発散のため、分配関数が発散するが、それでもモジュラー不変な分配関数を導出すること。
• SU(1,1)ストリングとリウヴィル理論との関係、特にGervais-Neveu系列を通じての関係を調査すること。
• 主連続表現におけるモジュラー不変性を示し、コセットモデルの有効性を確立すること。

提案手法

• SU(1,1)の離散ユニタリおよび非ユニタリ表現を用いて、非ユニタリ状態が分離されたストリング理論を構築する。
• 分配関数にモジュラー不変性の制約を適用し、モジュラー変換に対して不変である条件を導出する。
• 分配関数の収束を保証するため、ユークリッド符号数を用いてSU(1,1)/U(1)コセットモデルを分析する。
• 表現内容に基づき、2つの明確に異なる理論のクラスを同定し、それぞれが特定の中心電荷系列を生成することを示す。
• 中心電荷系列c=9,15,21,27,…とc=8,14,20,26,…をGervais-Neveu系列c−2=7,13,19,25…と比較し、リウヴィル理論との双対性を示唆する。
• 主連続表現におけるモジュラー不変性を示し、離散系列にとどまらないフレームワークの有効性を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(1,1)群多様体上のストリング理論は、時間的次元に起因する発散があるにもかかわらず、どのようにしてモジュラー不変性を確保できるか？
• RQ2 離散表現は非ユニタリ状態を分離し、モジュラー不変な分配関数を可能にする上で果たす役割は何か？
• RQ3 中心電荷系列c=9,6,5,9/2,…とc=9,15,21,27,…は、2次元量子重力における既知の系列（例：Gervais-Neveu系列）とどのように関係しているか？
• RQ4 SU(1,1)/U(1)コセットモデルは収束する分配関数を生成し、臨界2次元ブラックホールの物理を支持できるか？
• RQ5 SU(1,1)ストリングとリウヴィル理論との双対性の本質は何か？中心電荷構造にどのように現れるか？

主な発見

• 離散表現を用いて、SU(1,1)上に2つのクラスのストリング理論を構築し、それぞれ中心電荷c=9,6,5,9/2,…とc=9,15,21,27,…を示した。
• 2番目の中心電荷系列は2を引くとGervais-Neveu系列c−2=7,13,19,25…と一致し、リウヴィル理論との潜在的な双対性を示唆する。
• SU(1,1)の時間的次元に起因する発散があるにもかかわらず、離散表現および主連続表現の両方でモジュラー不変性が達成された。
• ユークリッドコセットSU(1,1)/U(1)は、中心電荷c=8,5,4,…とc=8,14,20,26,…の2つのクラスの理論を生成し、後者には臨界2次元ブラックホールが含まれる。
• コセット理論の分配関数は収束するが、SU(1,1)の場合は収束しないため、コセットモデルはより物理的に妥当である。
• 結果は、SU(1,1)ストリング理論とリウヴィル理論との間の深い構造的関係を示唆しており、c=1ストリングモデルにおける既知の関係に類似している。