[論文レビュー] Interaction effects on 3D topological superconductors: surface topological order from vortex condensation, the 16 fold way and fermionic Kramers doublets

Max A. Metlitski, Lukasz Fidkowski+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2014

Topological Materials and Phenomena被引用数 53

ひとこと要約

本論文は、3次元時間反転対称性をもつトポロジカル超伝導体（クラスDIII）における相互作用効果を調査し、強い相関効果によって自由フェルミオンの分類指数 ν が ℤ から ℤ₁₆ に減少することを示している。偶数インデックス状態（ν=2m）におけるストリングの凝縮を用いて、16重の方法を実現する表面トポロジカル秩序を導出し、T²=±i を満たすフェルミオン的クライマー二重項を確立することで、ν=1 の非アーベル的表面トポロジカル秩序が確認され、対称性拡張トポロジカル秩序を介して分類の減少が解明された。

ABSTRACT

Three dimensional topological superconductors with time reversal symmetry (class DIII) are indexed by an integer $ν$, the number of surface Majorana cones, according to the free fermion classification. The superfluid B phase of He$^3$ realizes the $ν=1$ phase. Recently, it has been argued that this classification is reduced in the presence of interactions to Z$_{16}$. This was argued from the symmetry respecting surface topological orders of these states, which provide a non-perturbative definition of the bulk topological phase. Here, we verify this conclusion by focusing on the even index case, $ν=2m$, where a vortex condensation approach can be used to explicitly derive the surface topological orders. We show a direct relation to the well known result on one dimensional topological superconductors (class BDI), where interactions reduce the free fermion classification from Z down to Z$_8$. Finally, we discuss in detail the fermionic analog of Kramers time reversal symmetry, which allows semions of some surface topological orders to transform as $T^2=\pm i$.

研究の動機と目的

• 3次元時間反転対称性をもつトポロジカル超伝導体（クラスDIII）における電子相互作用が、自由フェルミオン極限における整数 ν の分類にどのように影響するかを理解すること。
• 自由フェルミオンの分類 ν ∈ ℤ が相互作用の存在下で ℤ₁₆ に減少する理由、特に表面状態において、という謎を解明すること。
• 偶数インデックス状態（ν=2m）におけるストリングの凝縮を通じて、3次元トポロジカル超伝導体の分類と表面トポロジカル秩序の16重の方法との直接的な関係を確立すること。
• フェルミオン的クライマー二重項が表面Anyon統計に果たす役割を明確にすること、特に T²=±i を満たすAnyonの実現が、非アーベル的表面トポロジカル秩序に不可欠であることを示すこと。

提案手法

• 偶数 ν=2m を持つ3次元トポロジカル超伝導体におけるストリングの凝縮アプローチを用い、表面トポロジカル秩序を明示的に導出し、16重の方法分類と関連づけた。
• この手法は3次元体を2次元表面に写像し、Anyon励起を伴うギャップのある、対称性を保存するトポロジカル秩序を生成する。
• 1次元トポロジカル超伝導体（クラスBDI）における相互作用による ℤ から ℤ₈ への分類低下と類似の論理を用い、これを3次元に拡張した。
• Anyonにフェルミオン的クライマー時間反転対称性（T²=±i）を導入し、非アーベル的表面トポロジカル秩序の実現に不可欠な役割を果たした。
• 対称性拡張トポロジカル秩序（SET）に基づく非摂動的アプローチを用い、表面状態を介して体のトポロジカル位相を定義した。
• 4Anyon状態 |v⟩ を構築し、時間反転演算子 T₁, T₂ がその上に作用する様子を分析することで、代数的恒等式とノルム制約を用いて T²=±i を証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 電子相互作用は、3次元時間反転対称性をもつトポロジカル超伝導体の自由フェルミオン分類を ℤ から ℤ₁₆ にどのように低下させるか？
• RQ2 偶数 ν=2m の3次元トポロジカル超伝導体において、明示的な表面トポロジカル秩序は何か？ そして、16重の方法とどのように関係するか？
• RQ3 3次元系におけるストリングの凝縮から16重の方法分類を導出可能か？ 1次元BDI系における ℤ→ℤ₈ 減少と比較するとどうなるか？
• RQ4 フェルミオン的クライマー二重項は、T²=±i を満たすAnyonの実現にどのように寄与するか？ これにより表面Anyon統計にどのような影響を与えるか？
• RQ5 ν=1 時の非アーベル的表面トポロジカル秩序（例：SO(3)₃）はどのように実現されるか？ そして、その存在を保証する対称性的制約は何か？

主な発見

• 3次元時間反転対称性をもつトポロジカル超伝導体（クラスDIII）における自由フェルミオン分類指数 ν ∈ ℤ は、強い電子相互作用の影響で ℤ₁₆ に低下する。
• 偶数 ν=2m の状態では、ストリングの凝縮が表面トポロジカル秩序の明示的微視的導出を可能にし、16重の方法分類を確認した。
• ν=1 の表面トポロジカル秩序は SO(3)₃ であると特定され、これは非アーベル的Anyon理論であり、相互作用と対称性によって安定化される。
• フェルミオン的クライマー二重項が T²=±i を満たすAnyonを支持することを示し、これはボソン的Anyonとは明確に異なる特徴であり、16重分類の実現に不可欠である。
• 表面状態のAnyonが時間反転に対して T²=±i で変換されることを証明し、このような状態が degenerate であり、局所的 T-不変摂動からも影響を受けないことを示した。
• ℤ から ℤ₁₆ への低下は、1次元BDI系（ℤ→ℤ₈）におけるものと類似しており、3次元系では表面トポロジカル秩序を介してこの結果が高次元に一般化された。