[論文レビュー] Interaction quenches in the Lieb-Liniger model

Márton Kormos, Aditya Shashi+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2012

Theoretical and Computational Physics参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般化されたギブズ集合（GGE）とベーテアンザッツ技法を組み合わせて、可解な1次元Lieb-Liniger模型における相互作用クエンチを研究している。無限個の保存量が準運動量分布における非解析的挙動を引き起こし、非局所相関関数における相互作用依存のフレデリクス様の揺らぎを生じさせることを示している。これは熱的予測とは異なり、超冷却原子実験でテスト可能な特徴である。

ABSTRACT

We obtain exact results on interaction quenches in the 1D Bose gas described by the integrable Lieb-Liniger model. We show that in the long time limit integrability leads to significant deviations from the predictions of the grand canonical ensemble and a description within the generalized Gibbs ensemble (GGE) is needed. For a non-interacting initial state and arbitrary final interactions, we find that the presence of infinitely many conserved charges generates a non-analytic behavior in the equilibrated density of quasimomenta. This manifests itself in a dynamically generated Friedel-like oscillation of the non-local correlation functions with interaction dependent oscillation momenta. We also exactly evaluate local correlations and the generalized chemical potentials within GGE.

研究の動機と目的

• 相互作用クエンチ後の孤立系における長時間挙動を理解すること、特にLieb-Liniger模型のような可解モデルにおいて。
• 通常の熱的集合（例えば、グランドカノニカル集合、GCE）が定常状態を記述できるか、それとも一般化されたギブズ集合（GGE）が必要かを特定すること。
• 任意の最終的な相互作用強度に対して、GGEフレームワーク内での局所相関関数および一般化化学ポテンシャルの正確な式を導出すること。
• 超冷却原子系における可解性の実験的観測可能な特徴、例えば非解析的挙動や振動的相関関数を特定すること。

提案手法

• Lieb-Liniger模型のベーテアンザッツ解と一般化されたギブズ集合（GGE）を組み合わせ、相互作用クエンチ後の非平衡定常状態を記述する。
• 正確なスペクトルと保存量 $ Q_m = \sum_j \lambda_j^m $ を用い、ここで $ \lambda_j $ はLieb-Liniger代数的方程式を満たす準運動量である。
• 問題のモーメントの解法から充填関数 $ f(\lambda) $ を導出し、関係式 $ \varepsilon(\lambda) = \log[1/f(\lambda) - 1] $ を用いて $ \varepsilon(\lambda) $ の非線形積分方程式を解く。
• 形式因子展開と行列式表現を用いて非局所相関関数を評価し、2点関数のための $ G(x) $ 関数を含む。
• GGE方程式を $ \lambda/\lambda_* $ のべき級数に展開することで一般化化学ポテンシャル $ \beta_{2m} $ を計算し、大きな $ m $ に対して代数的減衰が生じることを明らかにする。
• 準運動量の半円分布を用いて相関関数の解析的近似を導出し、ベッセル関数に指数的減衰を合わせる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lieb-Liniger模型における相互作用クエンチ後の長時間定常状態を一般化されたギブズ集合（GGE）が正確に記述できるか。可解性のため、グランドカノニカル集合（GCE）が失敗するか？
• RQ2 無限個の保存量が非局所相関関数にどのように現れるか。観測されたフレデリクス様の揺らぎの起源は何か？
• RQ3 長時間における準運動量分布の非解析的挙動の関数的形と物理的起源は何か？
• RQ4 大きな $ m $ における一般化化学ポテンシャル $ \beta_{2m} $ の振る舞いは何か。GGEの構造にどのような含意があるか？
• RQ5 GGE記述を用いて正確な局所および非局所相関関数を計算できるか。それらは熱的予測とどのように異なるか？

主な発見

• 相互作用クエンチ後の長時間定常状態では、非局所相関関数にフレデリクス様の揺らぎが現れ、揺らぎの波数 $ \lambda_* $ が最終的な相互作用強度 $ \gamma $ に依存する。これは熱的状態における指数的減衰とは著しく対照的である。
• 無限個の保存量の集団的効果により、準運動量密度に非解析的挙動が生じ、運動量分布における「フェルミエッジ」が形成される。
• 2点相関関数は $ \sim 1/x^3 $ で減衰し、揺らぎは $ \sim J_1^2(\lambda_* x)/(\lambda_* x)^2 $ と振る舞い、これはべき則的減衰を示す。一方、熱的状態では指数的減衰を示す。
• 一般化化学ポテンシャル $ \beta_{2m} $ は $ \beta_{2m} \approx 1/(2m \lambda_*^{2m}) = 1/(2m (4n^2\gamma)^m) $ と大きな $ m $ に対して代数的減衰を示し、発散はしないが強い集団的効果が現れる。
• $ \gamma $ が大きい場合、密度-密度相関関数は $ g_2(x) \approx 1 - 2n J_1^2(\lambda_* x)/(\lambda_* x)^2 $ と近似され、振動的でべき則的減衰の性質を確認する。
• 逆温度 $ n^2 \beta_2 $ は $ \gamma \gg 1 $ の極限で $ \approx 1/(8\gamma) $ とスケーリングし、グランドカノニカル予測とは乖離しており、GGEの必要性を確認する。