[論文レビュー] Interactions among different types of nonlinear waves described by the Kadomtsev-Petviashvili Equation

Xue-Ping Cheng, Chunli Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Kadomtsev-Petviashvili (KP) 方程式の枠組み内で、ソリトン、クネイダル波、KdV/Boussinesq型波などの異なる種類の非線形波の間の相互作用解を生成する手法を開発する。Darboux 変換（DT）に関連する非局所的対称性を局所化することで、著者らは DT の本質的かつ特異的な役割が、与えられた非ソリトン種解にソリトンを追加することであることを示し、スペクトル問題を直接解くことなく、混合波動の相互作用を明示的に構成可能であることを明らかにする。

ABSTRACT

In nonlinear physics, the interactions among solitons are well studied thanks to the multiple soliton solutions can be obtained by various effective methods. However, it is very difficult to study interactions among different types of nonlinear waves such as the solitons (or solitary waves), the cnoidal periodic waves and Painlevé waves. In this paper, the nonlocal symmetries related to the Darboux transformations (DT) of the Kadomtsev-Petviashvili (KP) equation is localized after imbedding the original system to an enlarged one. Then the DT is used to find the corresponding group invariant solutions such that interaction solutions among different types of nonlinear waves can be found. It is shown that starting from a Boussinesq wave or a KdV-type wave, which are two basic reductions of the KP equation, the essential and unique role of the DT is to add an additional soliton.

研究の動機と目的

• 可積分系において、ソリトン、クネイダル波、Painlevé 波などの異なる非線形波型間の明示的相互作用解を構成するという長年の課題に対処すること。
• cnoidal 波や KdV 型波のような定数でない非ソリトン種解に Darboux 変換（DT）を適用する困難を克服すること。
• DT に関連する非局所的対称性から導かれる局所的対称性を活用して、新たな厳密解を体系的に生成するアプローチを開発すること。
• DT が非ソリトン種解に適用された際の中心的役割が、ソリトンの追加であることを示し、解の生成プロセスを簡素化すること。
• 定数解やソリトン種解に限らない可積分系への対称性還元技術の適用範囲を拡張し、より豊かな波動相互作用解を可能にすること。

提案手法

• KP 方程式の第一 Darboux 変換（DT）に関連する非局所的対称性を、元の系を u, ψ, φ, ψ₁, φ₁ および p = ∫ψφ dx の五つの追加ポテンシャルを含む拡大系に埋め込むことで局所化する。
• 拡大系は一般化されたリー点対称性を有し、その中には DT が特別な場合として含まれるため、リーの第一定理を用いた対称性還元が可能となる。
• 拡大系のリー点対称性還元により DT を再導出する。第一および第二の DT は同じ無限小形式を持つが、群パラメータの違いにより区別される。
• スペクトル問題を直接解く必要を回避するため、対称性還元を用いる。DT は解のシュワーツ形式上でメビウス変換として作用する。
• Boussinesq 型波および KdV 型波を種解として取り入れ、局所化された DT を適用することで、混合ソリトン-波動解を明示的に構成する。
• 得られた解は、ヤコビの楕円関数およびPainlevé超越関数で表現され、波動型を結びつける特定のパラメータ化が施されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KP 方程式において、cnoidal 波や KdV 型波のような定数でない非ソリトン種解に Darboux 変換を効果的に適用できるか。
• RQ2 定数解やソリトン種解ではなく、非ソリトン波動型に適用された場合に、Darboux 変換の本質的役割は何か。
• RQ3 KP 方程式の非局所的対称性をどのように局所化すれば、体系的な対称性還元と解の生成が可能になるか。
• RQ4 スペクトル問題を直接解かずに、ソリトンと周期的または特殊な非線形波（例：Painlevé 波）の間の相互作用解を明示的に構成できるか。
• RQ5 DT の作用が解のシュワーツ形式上でメビウス変換と同等であるか。これは KdV 場合に限らず成り立つか。

主な発見

• DT が非ソリトン種解に作用する際の本質的動作は、種解の種類（Boussinesq 型や KdV 型波を含む）にかかわらず、単一のソリトンを追加することに限定される。
• 局所化された拡大系の対称性還元により、ソリトンとクネイダル波の明示的相互作用解が構成され、そのうちの一つはヤコビの楕円関数およびパラメータ r₁, r₂, r₃, r₄ を用いて表現される。
• Painlevé 超越関数を含む第二の明示的解が導出され、パラメータが r₁, r₂, r₃, r₄, γ, c₀, C₁, C₂ について再パラメータ化されており、E_F および E_π 関数を含む形となる。
• 局所化された対称性アプローチにより、スペクトル問題を直接解く必要がなくなり、非ソリトン種解から新たな厳密解を効率的に得る道筋が開かれる。
• 本手法は一般化可能であり、Bäcklund 変換、双線形形式、負の階層から生じる他の非局所的対称性へも応用可能である。
• 本手法は古典的および非古典的対称性還元の両方に有効であり、超対称的および離散的モデルを含む他の可積分系へも応用可能である。