[論文レビュー] Interactions that reshape the interfaces of the interacting parties

David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2026

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ひとこと要約

論文は、相互作用において界面が進化するシステムをモデル化する多項式木を導入し、共進化する配線と界面を捉えるモノイダル閉包圏 PolyTr と双順序圏 OrgTr を構築して、進行的生成モデルへの適用を示す。

ABSTRACT

Polynomial functors model systems with interfaces: each polynomial specifies the outputs a system can produce and, for each output, the inputs it accepts. The bicategory $\mathbb{O}\mathbf{rg}$ of dynamic organizations \cite{spivak2021learners} gives a notion of state-driven interaction patterns that evolves over time, but each system's interface remains fixed throughout the interaction. Yet in many systems, the outputs sent and inputs received can reshape the interface itself: a cell differentiating in response to chemical signals gains or loses receptors; a sensor damaged by its input loses a channel; a neural network may grow its output resolution during training. Here we introduce *polynomial trees*, elements of the terminal $(u riangleleft u)$-coalgebra where $u$ is the polynomial associated to a universe of sets, to model such systems: a polynomial tree is a coinductive tree whose nodes carry polynomials, and in which each round of interaction -- an output chosen and an input received -- determines a child tree, hence the next interface. We construct a monoidal closed category $\mathbf{PolyTr}$ of polynomial trees, with coinductively-defined morphisms, tensor product, and internal hom. We then build a bicategory $\mathbb{O}\mathbf{rgTr}$ generalizing $\mathbb{O}\mathbf{rg}$, whose hom-categories parametrize morphisms by state sets with coinductive action-and-update data. We provide a locally fully faithful functor $\mathbb{O}\mathbf{rg} o\mathbb{O}\mathbf{rgTr}$ via constant trees, those for which the interfaces do not change through time. We illustrate the generalization by suggesting a notion of progressive generative adversarial networks, where gradient feedback determines when the image-generation interface grows to a higher resolution.

研究の動機と目的

• システムの界面（配線だけでなく）も流れに応じて変化する動機付けとモデル化。
• 進化する界面に対応するため、既存のダイナミック組織フレームワークを拡張。
• 共進化する界面をサポートする数学的エコシステム（PolyTr と OrgTr）を開発し、進化する界面の同時更新（共帰納的射、テンソル積、内部ホム）を提供。

提案手法

• 界面を universe 多項式 u を用いた終端 (u ▷ u)-コアアルジェbra の要素として多項式木を定義。
• コア inductively に定義された射を備えるモノイダル閉包構造を持つ PolyTr(U) カテゴリを構築。
• 定常木を介して界面を固定した多項式を PolyTr(U) に埋め込む。
• Org を OrgTr に一般化し、射をコア帰納的状態更新データでパラメータ化する双順序圏とする。
• 定常木の場合を同定する忠実な函手を Org から OrgTr へ提供。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互作用の中で界面自体がどのように変化し得るか、これを圏論的に如何に形式化するか？
• RQ2 進化する界面と配線を同時にサポートする圏論的構造（モノイダル閉包、共帰納的射）は何か？
• RQ3 固定界面モデルを進化する界面フレームワークとどう結びつけるか？
• RQ4 進行的生成過程のような、進化する界面のダイナミクスを具体的に示す応用例は何か？

主な発見

• 多項式木のモノイダル閉包圏 PolyTr(U) を、共帰納的に定義された射とともに構築する。
• Org を拡張し、共帰納的状態更新データで射をパラメータ化する双順序圏 OrgTr を一般化。
• 固定界面モデルを進化する界面フレームワークへ組み込むための、定常木を用いた局所的に全忠実な函手が Org から OrgTr へ存在する。
• このフレームワークは、配線と界面が共に進化するダイナミックな圏、作用素、モノイダル圏へと拡張される。
• 進行的深層学習の実例は、実務的文脈で OrgTr 構成を示す。