[論文レビュー] Interior Point Method for Dynamic Constrained Optimization in Continuous Time

Mahyar Fazlyab, Santiago Paternain+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2015

Optimization and Variational Analysis参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、時間変動する目的関数および制約を伴う凸動的制約付き最適化問題の最適解を追跡する連続時間内点法を提案する。時間微分に基づく予測とニュートン法に基づく補正を、時間変動する対数バリア関数フレームワーク内に統合することにより、標準的な凸性および微分可能性の仮定のもとで、漸近的に正確な追跡を達成し、定常状態の最適性ギャップを解消する。

ABSTRACT

This paper considers a class of convex optimization problems where both, the objective function and the constraints, have a continuously varying dependence on time. Our goal is to develop an algorithm to track the optimal solution as it continuously changes over time inside or on the boundary of the dynamic feasible set. We develop an interior point method that asymptotically succeeds in tracking this optimal point in nonstationary settings. The method utilizes a time varying constraint slack and a prediction-correction structure that relies on time derivatives of functions and constraints and Newton steps in the spatial domain. Error free tracking is guaranteed under customary assumptions on the optimization problems and time differentiability of objective and constraints. The effectiveness of the method is illustrated in a problem that involves multiple agents tracking multiple targets.

研究の動機と目的

• 目的関数および制約が時間とともに連続的に変化する凸最適化問題において、最適解を追跡する課題に対処すること。
• 非定常問題に標準的な反復的手法を適用した場合に生じる定常状態の最適性ギャップを克服すること。
• 時間微分を用いた予測とニュートンステップを用いた補正を活用する動的内点法を構築し、精度を維持すること。
• 変化率が消失する必要がない条件下でも、真の時間変動する最適解への追跡に関する理論的収束保証を確立すること。
• 動的制約を伴うマルチエージェントターゲット追跡シナリオにおいて、本手法の有効性を示すこと。

提案手法

• 制約を緩和し、違反に対してペナルティを課すために、時間変動する対数バリア関数を用いることで、動的実行可能集合内での妥当性を保証する。
• 時間とともに減少する時間変動する制約スラックを導入し、制約の漸近的満たしを保証する。
• 予測ステップでは、目的関数および制約関数の時間微分を用いて、最適解のドリフトを予測する。
• 補正ステップでは、空間領域におけるニュートン法を適用して、予測された軌道を現在の最適点へ補正する。
• 予測と補正を連続時間枠組みで統合し、バリア関数の勾配降下を保証する微分方程式によって動的を制御する。
• バリア関数の勾配ノルムが減少し、指数関数的に減少する項によって有界に保たれるようにすることで、グローバル収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間変動する凸最適化問題に制約が動的に変化する場合に、内点法を最適解の追跡に適応可能か。
• RQ2 時間微分とニュートンステップに基づく予測補正構造が、連続時間において誤差のない追跡を達成できるか。
• RQ3 どのような条件下で、変化率が消失する必要がないにもかかわらず、真の時間変動する最適解への収束が達成されるか。
• RQ4 時間変動するバリア関数およびスラックパラメータが、妥当性および収束の維持にどのように寄与するか。
• RQ5 本手法は、マルチエージェントターゲット追跡のようなリアルタイム制御問題に効果的に適用可能か。

主な発見

• 提案手法は、非定常な状況において最適解を漸近的に正確に追跡し、定常状態の最適性ギャップを有さない。
• バリア関数の勾配ノルムは時間とともに指数関数的に減少し、最適軌道への収束を保証する。
• 計算された軌道と真の最適解との間の誤差は指数関数的に減少し、$ \|\tilde{\textbf{z}}(t)-\tilde{\textbf{x}}^{\star}(t)\|_{2} \leq \frac{2}{m}\|\nabla_{\textbf{x}}\tilde{\Phi}(\textbf{x}_{0},0)\|_{2}e^{-\sigma t} $ で有界である。
• 時間変動する制約スラックを用いることで、すべての $ i $ および $ t $ に対して $ f_i(\tilde{\textbf{z}}^\star(t),t) < s(t) $ が満たされることにより、妥当性が保証される。
• 理論的収束は、標準的な仮定のもとで成立する：目的関数の強い凸性、関数の2回連続微分可能性、および時間微分の有界性。
• 本手法はマルチエージェント追跡問題において検証され、動的かつ制約付き環境における実用的有効性が示された。