[論文レビュー] Interleaved Algorithms for Constrained Submodular Function Maximization

Kanthi Sarpatwar, Baruch Schieber+1 more|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ナップサック制約およびマトロイド制約の下で単調なサブモジュラ関数最大化の近似比を向上させるために、グリーディ選択と局所探索を交互に実行するアルゴリズムを提示する。ナップサックおよびマトロイド制約の下で、(1−e⁻²)/2 ≈ 0.432 という、これまでに得られた最良の比を達成し、k 個のマトロイド制約へと拡張すると (1−e⁻⁽ᵏ⁺¹⁾)/(k+1) となる。グリーディ法と局所探索のハイブリッド手法の有効性が示された。

ABSTRACT

We present a combinatorial algorithm that improves the best known approximation ratio for monotone submodular maximization under a knapsack and a matroid constraint to $\frac{1 -e^{-2}}{2}$. This classic problem is known to be hard to approximate within factor better than $1 - 1/e$. We show that the algorithm can be extended to yield a ratio of $\frac{1 - e^{-(k+1)}}{k+1}$ for the problem with a single knapsack and the intersection of $k$ matroid constraints, for any fixed $k > 1$. Our algorithms, which combine the greedy algorithm of [Khuller, Moss and Naor, 1999] and [Sviridenko, 2004] with local search, show the power of interleaving iterations of the two techniques as a new algorithmic tool.

研究の動機と目的

• ナップサックおよびマトロイド制約の下で単調なサブモジュラ関数最大化の近似比を向上させること。
• 既存手法よりも近似保証が優れる組み合わせ的アルゴリズムを開発すること。
• 制約付きサブモジュラ最適化におけるグリーディ法と局所探索の相乗効果を調査すること。
• アルゴリズムフレームワークを複数のマトロイド制約の共通部分へと拡張すること。

提案手法

• Khuller 他 (1999) および Sviridenko (2004) のグリーディアルゴリズムの反復と局所探索手順を交互に実行し、解を改善する。
• 妥当な解を維持し、制約下で目的関数値を増加させる局所的移動を探索することで、反復的に改善を図る。
• 高い限界利益を持つ要素のグリーディ選択と、局所探索を組み合わせることで、局所最適解に陥るのを回避する。
• 目的関数のサブモジュラリティと制約構造を活用して、近似比の上限を導出する。
• k 個のマトロイド制約の共通部分を扱うために、局所探索およびグリーディ部品を統合制約系に適合させる。
• 交互なステップにおける改善を追跡するためのポテンシャル関数の議論を用いて、理論的保証を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ナップサックおよびマトロイド制約の下で、グリーディ法と局所探索を交互に実行することで、サブモジュラ最大化の近似比を向上させることができるか？
• RQ2 ナップサック制約および単一のマトロイド制約の下で、単調なサブモジュラ最大化の最良の達成可能近似比は何か？
• RQ3 k 個のマトロイド制約の共通部分に拡張した場合、近似比はどのようにスケーリングされるか？
• RQ4 グリーディ法と局所探索の組み合わせにより、単独で用いる場合よりも理論的に優れた解が得られるか？

主な発見

• 本アルゴリズムは、ナップサックおよびマトロイド制約の下で、単調なサブモジュラ関数最大化に対して (1−e⁻²)/2 ≈ 0.432 の近似比を達成し、以前の結果を改善した。
• k 個のマトロイド制約とナップサック制約の共通部分に対しては、(1−e⁻⁽ᵏ⁺¹⁾)/(k+1) の比を達成し、k が増加するにつれて改善が見られた。
• グリーディ法と局所探索の交互実行は、単独で用いる場合よりも優れたアルゴリズムフレームワークを提供する。
• 本手法は組み合わせ的であり、連続的緩和に依存しないため、実世界の応用において実用的で効率的である。