[論文レビュー] Intermediate Assouad-like dimensions

Ignacio García‐Fernández, Kathryn E. Hare+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、ボックス次元とアッソウド次元の間を補間する関数Φを用いて定義される、新たな双リプシッツ不変次元のクラス——中間アッソウド型次元——を導入する。Φを変化させることで、局所的スケーリング挙動に関する幾何的情報を精緻化する連続的な次元族を構成し、準アッソウド次元とアッソウド次元の間で全区間の次元をとるカントール集合の存在を証明する。

ABSTRACT

We introduce and study bi-Lipschitz-invariant dimensions that range between the box and Assouad dimensions. The quasi-Assouad dimensions and $ heta$-spectrum are other special examples of these intermediate dimensions. These dimensions are localized, like Assouad dimensions, but vary in the depth of scale which is considered, thus they provide very refined geometric information. We investigate the relationship between these and the familiar dimensions. We construct a Cantor set with a non-trivial interval of dimensions, the endpoints of this interval being given by the quasi-Assouad and Assouad dimensions of the set. We study continuity-like properties of the dimensions. In contrast with the Assouad-type dimensions, we see that decreasing sets in $\mathbb{R}$ with decreasing gaps need not have dimension $0$ or $1$. Formulas are given for the dimensions of Cantor-like sets and these are used in some of our constructions. We also show that, as is the case for Hausdorff and Assouad dimensions, the Cantor set and the decreasing set have the extreme dimensions among all compact sets in $\mathbb{R}$ whose complementary set consists of open intervals of the same lengths.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、ボックス次元とアッソウド次元の間の双リプシッツ不変次元の精密な族を構築することにある。
• これらの中間次元の幾何学的・解析的性質、特にカントール集合のようなフラクタル集合における挙動を調査することにある。
• 著者たちは、連続的な次元スケールを導入することで、カントール集合の再配置における次元の安定性という古典的問題を解決することを目的としている。
• 再配置された集合が次元を保存するか、変化させるかを特定するため、特にΦ関数の漸近的挙動との関係を同定することを目的としている。

提案手法

• 著者たちは、スケール比 r ≤ R^{1+Φ(R)} を r ≤ R に制限することで、上・下のΦ次元を定義し、アッソウド次元およびθ-アッソウドスペクトルを一般化する。
• 減少するギャップを有するカントール型集合の再帰的構成を用いて、中間次元が区間全体に連続的に変化する例を構築する。
• 証明は、集合と半径Rの球の交わりをr-球で被覆するのに必要な数の推定に依拠し、被覆議論と幾何的境界を用いる。
• 構築された集合内のギャップの減衰速度およびブロック構造の分析を通じて、Φ次元の連続性および安定性を確立する。
• 主な技術的道具は、均一な被覆推定（補題1）であり、Nr(B(z,R) ∩ Ak) ≤ C (min(|Ak|, R)/r)^d とし、被覆数の成長を制御する。
• Φ(x) の x → 0 における漸近的挙動を分析し、Φ(x) → ∞ ならば次元がボックス次元に収束すること、Φ(x) → δ ∈ (0,∞) ならば次元がθ = (1+δ)^{-1} に対応する上・下のθ-アッソウドスペクトルに一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様なコンパクト集合E ⊂ R が、準アッソウド次元とアッソウド次元の間で連続的な区間の次元をとることができるか？
• RQ2 中間Φ次元は双リプシッツ写像および集合の再配置に対してどのように振る舞うか？
• RQ3 Φ(x) の漸近的減衰と得られる次元値との関係は何か？
• RQ4 ギャップが減少する集合は、アッソウドの場合と同様に、次元が0または1に限られるのか？
• RQ5 中間次元は、標準的なアッソウド次元やボックス次元よりも細かい幾何的差を検出できるか？

主な発見

• 著者たちは、カントール集合 E = A ∪ B を構成し、Φが変化するにつれて dimΦE が [d, 1] の全区間を連続的に取り得ることを示した。両端はそれぞれ準アッソウド次元とアッソウド次元に対応する。
• 任意の d ∈ [dimΦCa, 1) に対して、dimΦE = d を満たす集合 E ∈ Ca が存在することを示し、中間次元が全区間の値を実現可能であることを示した。
• Φ(x) → ∞ (x → 0 のとき) ならば、上・下のΦ次元は上・下のボックス次元に収束する。
• Φ(x) → δ ∈ (0, ∞) のとき、上・下のΦ次元はθ = (1+δ)^{-1} に対応する上・下のθ-アッソウドスぺクトルに一致する。
• ギャップが減少するにもかかわらず、構築された集合 A ∪ B の準アッソウド次元は正確に d に等しく、このような集合が次元0または1に限らないことを示した。
• 結合結果（命題2.4）により、dimΦA = d かつ dimΦB = dimΦCa であるため、全集合 E = A ∪ B に対して dimΦE = d が成り立つ。