[論文レビュー] Intermediate dimensions of Bedford-McMullen carpets with applications to Lipschitz equivalence

Amlan Banaji, István Kolossváry|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2021

Mathematical Dynamics and Fractals被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、大偏差率関数を用いて、Bedford–McMullenカーペットの全範囲 $ heta ∈ [0,1]$ における中間次元の正確な公式を確立する。中間次元は、可算個の段階遷移の間で厳密に増加し、解析的かつ厳密に下に凸であることが明らかになり、二つのカーペットのハウスドルフ多分岐スペクトルが等しいことと中間次元が等しいことの必要十分条件であることが示され、これは双リプシッツ同値性のための必要条件を示している。

ABSTRACT

Intermediate dimensions were recently introduced to provide a spectrum of dimensions interpolating between Hausdorff and box-counting dimensions for fractals where these differ. In particular, the self-affine Bedford-McMullen carpets are a natural case for investigation, but until now only very rough bounds for their intermediate dimensions have been found. In this paper, we determine a precise formula for the intermediate dimensions $\dim_{\, θ}Λ$ of any Bedford-McMullen carpet $Λ$ for the whole spectrum of $θ\in [0,1]$, in terms of a certain large deviations rate function. The intermediate dimensions exist and are strictly increasing in $θ$, and the function $θ\mapsto \dim_{\, θ}Λ$ exhibits interesting features not witnessed on any previous example, such as having countably many phase transitions, between which it is analytic and strictly concave. We make an unexpected connection to multifractal analysis by showing that two carpets with non-uniform vertical fibres have equal intermediate dimensions if and only if the Hausdorff multifractal spectra of the uniform Bernoulli measures on the two carpets are equal. Since intermediate dimensions are bi-Lipschitz invariant, this shows that the equality of these multifractal spectra is a necessary condition for two such carpets to be Lipschitz equivalent.

研究の動機と目的

• すべての $\theta \in [0,1]$ に対して、Bedford–McMullenカーペットの中間次元を正確に特定すること。
• 中間次元関数 $\theta \mapsto \dim_\theta \Lambda$ の幾何学的・解析的性質を分析すること、特に単調性、解析性、および下に凸性を含む。
• 中間次元と多分岐解析との深い関係を確立することにより、中間次元が等しいこととハウスドルフ多分岐スペクトルが等しいことの間の関係を示すこと。
• この関係を双リプシッツ同値性の問題に応用し、二つのカーペットが双リプシッツ同値であるためには、多分岐スペクトルが等しいことが必要であることを示すこと。

提案手法

• カーペット内の縦方向の繊維の分布に関連する大偏差率関数を用いて、中間次元 $\dim_\theta \Lambda$ の公式を導出する。
• 大偏差理論におけるタイプの方法を用い、さまざまなスケールにおける被覆集合の漸近的挙動を分析する。
• 近似正方形の再帰的構成とその被覆コストを用いて、$\theta$-中間次元制約下での被覆の $s$-コストを評価する。
• 生成関数のルジャンドル変換を用いて、中間次元と率関数との関係を確立し、同値条件を導出する。
• 各段階におけるシリンダー数の漸近的成長を詳細に分析し、順序付きカウント $N_{\hat{\imath}}$ と重み $R_{\hat{\imath}}$ を用いて縦方向繊維の分布をモデル化する。
• 再帰的議論により、率関数 $I(t)$ と $I'(t - \gamma \log(M'/M))$ の等価性が中間次元の等価性を示すことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bedford–McMullenカーペット $\Lambda$ に対して、すべての $\theta \in [0,1]$ における中間次元 $\dim_\theta \Lambda$ の正確な公式は何か？
• RQ2 関数 $\theta \mapsto \dim_\theta \Lambda$ はどのように振る舞うか。具体的には、解析的で、段階遷移の間で厳密に増加し、かつ厳密に下に凸であるか？
• RQ3 中間次元とカーペット上での一様ベルヌーイ測度の多分岐スペクトルとの関係は何か？
• RQ4 二つの Bedford–McMullenカーペットが等しい中間次元を持つための条件は何か？
• RQ5 二つのカーペットが双リプシッツ同値であるためには、ハウスドルフ多分岐スペクトルが等しいことが必要条件となるか？

主な発見

• 中間次元 $\dim_\theta \Lambda$ は、可算個の段階遷移の間で厳密に増加し、各区間で解析的かつ厳密に下に凸である。
• 中間次元 $\dim_\theta \Lambda$ の正確な公式が、カーペット内でのシリンダー数の漸近的スケーリングを支配する大偏差率関数 $I(t)$ を用いて導出される。
• 二つの Bedford–McMullenカーペットが等しい中間次元を持つための必要十分条件は、それらの一様ベルヌーイ測度のハウスドルフ多分岐スペクトルが等しいことである。
• 中間次元の等価性は、率関数 $I(t)$ と $I'(t - \gamma \log(M'/M))$ がシフト関係にあることを意味し、その結果としてカーペットの繊維数と重みの間の正確なスケーリング関係が強制される。
• 中間次元関数は、これまでに研究されたいかなるフラクタル集合にも観察されなかった、可算個の段階遷移を持つ独自の構造を示している。
• 上記の結果から、非一様な縦方向繊維を持つカーペットの双リプシッツ同値性において、多分岐スペクトルの等価性は必要条件であることが示された。