[論文レビュー] Intermediate Disorder Regime for 1+1 Dimensional Directed Polymers

Tom Alberts, Konstantin Khanin+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、逆温度を $\beta_n = \beta n^{-1/4}$ とスケーリングすることにより、1+1次元の指向的高分子に対して中間的不純度領域を導入し、弱不純度および強不純度とは異なる特徴的なフラクチュエーション挙動を明らかにした。単純なランダムウォークと同一のフラクチュエーション指数（$\zeta = 1/2$、$\chi = 0$）を示すが、高分子測度は不純度の影響を受けて自己平均化しないフラクチュエーションを示し、確率的絶対連続測度に確率的に収束する。その確率的性質は、クロスオーバー分布およびGUEトライアリー＝ウィドム分布を一様分布として持つ定常過程に起因する。

ABSTRACT

We introduce a new disorder regime for directed polymers in dimension $1+1$ that sits between the weak and strong disorder regimes. We call it the intermediate disorder regime. It is accessed by scaling the inverse temperature parameter $\beta$ to zero as the polymer length $n$ tends to infinity. The natural choice of scaling is $\beta_n:=\beta n^{-1/4}$. We show that the polymer measure under this scaling has previously unseen behavior. While the fluctuation exponents of the polymer endpoint and the log partition function are identical to those for simple random walk ($\zeta=1/2,\chi=0$), the fluctuations themselves are different. These fluctuations are still influenced by the random environment, and there is no self-averaging of the polymer measure. In particular, the random distribution of the polymer endpoint converges in law (under a diffusive scaling of space) to a random absolutely continuous measure on the real line. The randomness of the measure is inherited from a stationary process $A_{\beta}$ that has the recently discovered crossover distributions as its one-point marginals, which for large $\beta$ become the GUE Tracy-Widom distribution. We also prove existence of a limiting law for the four-parameter field of polymer transition probabilities that can be described by the stochastic heat equation. In particular, in this weak noise limit, we obtain the convergence of the point-to-point free energy fluctuations to the GUE Tracy-Widom distribution. We emphasize that the scaling behaviour obtained is universal and does not depend on the law of the disorder.

研究の動機と目的

• 弱不純度と強不純度の間の新たな不純度領域を1+1次元指向的高分子で特定すること。
• 弱ノイズスケーリング $\beta_n = \beta n^{-1/4}$ の下での高分子測度のスケーリング極限を分析すること。
• 高分子終点の極限分布とその確率的環境への依存性を特徴づけること。
• 高分子遷移確率の4パラメータフィールドの極限法則の存在を確立すること。
• 弱ノイズ極限における点対点自由エネルギーのフラクチュエーションがGUEトライアリー＝ウィドム分布に収束することを証明すること。

提案手法

• 弱不純度と強不純度の間の不純度領域に到達するため、$\beta_n = \beta n^{-1/4}$ のスケーリングを導入する。
• 拡散スケーリングされた高分子終点測度を分析し、それが $\mathbb{R}$ 上の確率的絶対連続測度に法則収束することを示す。
• 極限終点測度の確率的性質を記述するために、1点分布がクロスオーバー分布をとる定常過程 $A_\beta$ を用いる。
• 高分子遷移確率フィールドの収束を、確率的熱方程式の解に示す。
• 既知のクロスオーバーおよびトライアリー＝ウィドム分布の結果を活用し、極限自由エネルギーのフラクチュエーションを同定する。
• 不純度の具体的な分布に依存しないスケーリング挙動の普遍性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逆温度を $\beta_n = \beta n^{-1/4}$ とスケーリングした場合、1+1次元の指向的高分子はどのように振る舞うか？
• RQ2 この中間的領域において、高分子終点および対数分配関数のフラクチュエーションはどのように振る舞うか？
• RQ3 高分子測度は自己平均化するのか、それとも極限において確率的環境の影響を受けるのか？
• RQ4 拡散スケーリング下での高分子遷移確率フィールドの極限法則は何か？
• RQ5 この領域において、点対点自由エネルギーのフラクチュエーションはGUEトライアリー＝ウィドム分布に収束するか？

主な発見

• 高分子終点および対数分配関数のフラクチュエーション指数は、それぞれ $\zeta = 1/2$ および $\chi = 0$ であり、単純なランダムウォークと一致する。
• 指数が一致するにもかかわらず、フラクチュエーションは自己平均化せず、依然として確率的環境の影響を受ける。
• 拡散スケーリングされた高分子終点測度は、$\mathbb{R}$ 上の確率的絶対連続測度に法則収束する。
• 極限終点測度の確率的性質は、1点分布がクロスオーバー分布をとる定常過程 $A_\beta$ に起因する。
• $\beta \to \infty$ のとき、$A_\beta$ の1点分布はGUEトライアリー＝ウィドム分布に収束する。
• 高分子遷移確率の4パラメータフィールドは、確率的熱方程式の解に収束し、点対点自由エネルギーのフラクチュエーションはGUEトライアリー＝ウィドム分布に収束する。