[論文レビュー] Intermediately trimmed strong laws for Birkhoff sums on subshifts of finite type

Marc Keßeböhmer, Tanja I. Schindler|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 34被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、測度に基づく距離を用いた縮小球上での変動を含むノルムで定義される、擬ホルダー連続関数の新しいバナッハ空間を導入することで、有限型符号シフト上のバーキホフ和に対する中間トリミング強大数法則を確立した。この空間によりスペクトルギャップ解析が可能となり、従来の区間写像からの結果を符号的力学系へ拡張した。主な貢献は、正規変動尾を持つ観測量（例：セントピーターズブルグ型分布）に対して、適切な列で正規化された中間トリミング和が、可積分でない場合であってもほとんど確実に1に収束することを示したことである。

ABSTRACT

We prove strong laws of large numbers under intermediate trimming for Birkhoff sums over subshifts of finite type. This gives another application of a previous trimming result only proven for interval maps. In case of Markov measures we give a further example of St.\ Petersburg type distribution functions. To prove these statements we introduce the space of quasi-H\"older continuous functions for subshifts of finite type.

研究の動機と目的

• 区分的拡張区間写像における中間トリミング強大数法則を、有限型符号シフトへ拡張すること。
• 力学系の文脈において、標準的なリプシッツ関数がスペクトルギャップおよび切断条件を満たさない問題を克服すること。
• スペクトル理論における有限型符号シフトの文脈でより大きな、より適したバナッハ空間としての擬ホルダー連続関数の空間を導入・分析すること。
• ギブス・マルコフ測度の文脈において、切断和の新しい極限定理を確立し、セントピーターズブルグ型分布の洗練された分析を提供すること。
• 同一のトリミングおよび正規化列が、i.i.d.列と、正規変動尾分布を示す広範な力学系クラスの両方で有効であることを示すこと。

提案手法

• 測度に基づく距離を用いた縮小球上での変動を含むノルムで定義される、有限型符号シフト上での擬ホルダー連続関数の新しいバナッハ空間を導入すること。
• この空間がバナッハ代数をなしており、シフト写像に関連する転送作用素に対してスペクトルギャップを有することを証明すること。
• ポテンシャル関数に関する適切な条件下で、この空間上での転送作用素がスペクトルギャップ性質を満たすことを確立すること。
• スペクトルギャップを用いて、先行研究（KS18）の性質Dの条件を満たすことを確認し、中間トリミング強大数法則の適用を可能にすること。
• bn = o(n) であるように、バーキホフ和から最大のbn個の和項を除去することで中間トリミングを定義し、正規化後にほとんど確実に1に収束することを導出すること。
• 理論をマルコフ測度に適用し、ギブス・マルコフ測度の下でセントピーターズブルグ型分布の明示的例を構成し、i.i.d.の場合と同一のトリミングおよび正規化が有効であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なリプシッツ関数がスペクトルおよび切断条件を満たさない有限型符号シフトにおいて、区間写像からの中間トリミング強大数法則を拡張できるか？
• RQ2 正規変動尾を持つ観測量（例：α ∈(−1,0)）に対して、擬ホルダー連続関数の空間が、特に非可積分観測量の文脈において、符号的力学系におけるスペクトルギャップ解析の適切な枠組みを提供するか？
• RQ3 正規変動尾（例：α ∈(−1,0)）を持つ観測量に対して、i.i.d.の場合と同一のトリミング列bnおよび正規化列dnが、符号シフトにおいてもほとんど確実な収束をもたらすか？
• RQ4 特にギブス・マルコフ測度の文脈において、非可積分確率変数の切断和の理論を改善できるか？
• RQ5 有限型符号シフト上でのセントピーターズブルグ型分布は、i.i.d.設定と同一の漸近的挙動を示すか、中間トリミングの下で？

主な発見

• 擬ホルダー連続関数の空間は、バナッハ代数をなし、符号シフト上での転送作用素に対してスペクトルギャップを支持するノルムを持つ。
• この空間上での転送作用素はスペクトルギャップ性質を満たし、これにより先行研究（KS18）の中間トリミング結果の適用が可能になる。
• 正規変動尾（α ∈(−1,0)）を持つ観測量に対して、i.i.d.の場合と同一のbnおよびdn列を用いた中間トリミング強大数法則が成立する。
• ギブス・マルコフ測度の下で、セントピーターズブルグ型分布の明示的例を構成し、同じ正規化が有効であることを示した。
• 切断和 Tfn_n χ は、i.i.d.の場合と同一の条件下でほとんど確実に収束する。これは、切断列の条件を緩和することで、先行研究を改善した。
• シリンダ関数による近似を用いて、擬ホルダーノルムにおける単位球のコンパクト性を証明し、部分列の収束を保証するとともに、スペクトル理論を支援した。