[論文レビュー] Intermittency and chaos for a stochastic non-linear wave equation in dimension 1

Daniel Conus, Mathew Joseph+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、空間時間白色ノイズで駆動される1次元確率的非線形波動方程式に対して、間歇的挙動およびカオス的挙動を確立する。比較原理とモーメント推定を用いて、初期条件が0から離れている場合、解の上界が $ R \to \infty $ のとき $ (\log R)^{1/2} $ のオーダーで増大することを示し、ガウス型の挙動に類似している。一方、コンパクトに台を持つ初期データでは、最大値がほとんど確実に有界であることが得られる。

ABSTRACT

We consider a non-linear stochastic wave equation driven by space-time white noise in dimension 1. First of all, we state some results about the intermittency of the solution, which have only been carefully studied in some particular cases so far. Then, we establish a comparison principle for the solution, following the ideas of Mueller. We think it is of particular interest to obtain such a result for a hyperbolic equation. Finally, using the results mentioned above, we aim to show that the solution exhibits a chaotic behavior, in a similar way as was established by Conus, Joseph, and Khoshnevisan for the heat equation. We study the two cases where 1. the initial conditions have compact support, where the global maximum of the solution remains bounded and 2. the initial conditions are bounded away from 0, where the global maximum is almost surely infinite. Interesting estimates are also provided on the behavior of the global maximum of the solution.

研究の動機と目的

• 1次元空間における空間時間白色ノイズで駆動される確率的非線形波動方程式の間歇的挙動およびカオス的挙動を体系的に分析すること。
• 従来、放物型SPDEに用いられてきた比較原理を、波動方程式に新規に拡張すること。
• コンパクト台と0から離れているという2つの異なる初期条件の下で、解の上界に関する精密な漸近的推定を確立すること。
• 解の最大値の増大率に関する、よく知られた放物型（熱方程式）の場合との比較を通じて、類似点と相違点を明らかにすること。

提案手法

• 確率的波動カーネル $ \Gamma_t(x) = \frac{1}{2}\mathbf{1}_{[-\kappa t, \kappa t]}(x) $ を用いた弱解表現を採用し、ウォルズの確率積分によりノイズを統合する。
• ミューラーの研究にインspされ、波動方程式に適応した比較原理を適用し、解の増大を制御し、モーメント推定を可能にする。
• モーメントの有界性と尾確率推定（チエビシェフおよび指数モーメント技法を用いて）を用いて、拡大する区間における解の上界を分析する。
• 格子点 $ x_j $ 上での離散化戦略を用い、$ \sup_{x \in [-R,R]} u(t,x) $ を推定する。点ごとの尾確率有界性と連続性指数の推定を組み合わせる。
• ボレル・カンテーリの補題を適用し、尾確率の減衰率を用いて、解の最大値の増大率に関するほとんど確実な上界を得る。
• 連続性指数の推定を導出する：$ \mathbb{E}\left[\sup_{|x-x'| \leq \delta} \exp\left(\frac{|u(t,x)-u(t,x')|^2}{C\delta}\right)\right] \leq \frac{2}{\delta} $ であり、これは標本路の正則性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的非線形波動方程式の解は、放物型（熱方程式）の場合に観察されるのと同様に、間歇的挙動およびカオス的挙動を示すか？
• RQ2 空間領域が拡大する、すなわち $ R \to \infty $ のとき、異なる初期条件の下で解の上界はどのように振る舞うか？
• RQ3 初期データが0から離れている場合、$ \sup_{x \in [-R,R]} u(t,x) $ の正確な増大率は何か？
• RQ4 非ゼロの初期速度 $ v_0 $ が解の最大値および波速 $ \kappa $ 依存性に与える影響は何か？
• RQ5 放物型SPDEとは異なり、双曲型SPDEに対しても比較原理を確立できるか？また、その有効性は解の増大および尾の挙動の分析にどのように寄与するか？

主な発見

• 初期条件がコンパクトに台を持つ場合、$ \sup_{x \in \mathbb{R}} u(t,x) < \infty $ ほとんど確実に成り立つ。これは、グローバル最大値の有界性を確認する。
• 初期条件が0から離れている場合、$ [-R,R] $ 上での解の上界は、ほとんど確実に $ \sim (\log R)^{1/2} $ のオーダーで増大し、そのレートは $ \kappa $ と $ \overline{v}_0 $ に依存する。
• 増大率の上界は、ほぼ確実に $ \limsup_{R \to \infty} \frac{\sup_{x \in [-R,R]} u(t,x)}{(\log R)^{1/2}} \leq \left(\frac{8}{q}\right)^{1/2} $ である。ここで $ q = \min\left\{\frac{c}{\max\{\kappa, \overline{v}_0^2 \kappa^2\}}, \frac{1}{C}\right\} $ である。
• 解は、急速な空間的フラクチュエーションと高ピークの形成を示し、[9]で研究された放物型の場合と類似したカオス的挙動を示す。
• 増大率は $ \kappa $ に対して増加するが、連続性指数推定の制限により、$ \kappa $ が小さい場合、一様性が失われる。
• 初期速度 $ v_0 \equiv 0 $ の場合、解の挙動は放物型の場合に近くなり、上界と下界における $ \kappa $ への依存性が対称的になる。