[論文レビュー] Intermittency and Regularized Fredholm Determinants

Hans Henrik Rugh|ArXiv.org|Oct 7, 1996

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、原点に中立的固定点をもつ実解析的区間写像における間欠的カオス的ダイナミクスを研究する。連続スペクトル [0,1] を超えて解析接続可能な正則化されたフレドホルム行列式を導入し、そのゼロ点とペロン＝フロベニウス作用素の離散固有値の間に一対一対応を確立することで、間欠性を解析するためのスペクトル的道具を提供する。

ABSTRACT

We consider real-analytic maps of the interval $I=[0,1]$ which are expanding everywhere except for a neutral fixed point at 0. We show that on a certain function space the spectrum of the associated Perron-Frobenius operator ${\cal M}$ has a decomposition $Sp ({\cal M}) = σ_c \cup σ_p$ where $σ_c=[0,1]$ is the continuous spectrum of ${\cal M}$ and $σ_p$ is the pure point spectrum with no points of accumulation outside 0 and 1. We construct a regularized Fredholm determinant $d(λ)$ which has a holomorphic extension to $λ\in C-σ_c$ and can be analytically continued from each side of $σ_c$ to an open neighborhood of $σ_c-{0,1}$ (on different Riemann sheets). In $C-σ_c$ the zero-set of $d(λ)$ is in one-to-one correspondence with the point spectrum of ${\cal M}$. Through the conformal transformation $λ(z) = 1/(4z) (1+z)^2$ the function $d \circ λ(z)$ extends to a holomorphic function in a domain which contains the unit disc.

研究の動機と目的

• 原点に中立的固定点をもつ写像のペロン＝フロベニウス作用素のスペクトル構造を理解すること。
• 間欠的系において連続スペクトルが離散固有値を隠蔽するという課題に対処すること。
• 純粋な点スペクトルを分離・特徴付けることができる正則化されたフレドホルム行列式を構築すること。
• スペクトル解析のため、行列式を連続スペクトルを越えて解析接続可能にするようにすること。
• 正則化された行列式のゼロ点と作用素の点スペクトルの間に一対一対応を確立すること。

提案手法

• 実解析的かつ拡大的写像に原点に中立的固定点をもつものについて、適切な関数空間上でのペロン＝フロベニウス作用素 M を定義する。
• 作用素 M のスペクトルを連続スペクトル σ_c = [0,1] と、0 や 1 を除く点に蓄積点を持たない純粋な点スペクトル σ_p に分解する。
• 複素平面 C − σ_c 上に正則に拡張可能な正則化フレドホルム行列式 d(λ) を構成する。
• σ_c の両側から d(λ) を、異なるリーマン面上の [0,1] − {0,1} の近傍へ解析接続する。
• 自己同型写像 λ(z) = (1+z)²/(4z) を用いて、行列式を単位円板を含む領域上で正則関数に写像する。
• この変換を用いて、d(λ) のゼロ集合と M の点スペクトルとの間のスペクトル対応関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中立的固定点をもつ写像に対して、ペロン＝フロベニウス作用素のスペクトルはどのように分解されるか？
• RQ2 連続スペクトルが存在する中で、離散スペクトルを捉えることができる正則化フレドホルム行列式を構築できるか？
• RQ3 フレドホルム行列式は、連続スペクトルを越えてどの程度まで解析接続可能か？
• RQ4 自己同型写像は、スペクトル問題をより取り扱いやすい形に変換する上で果たす役割は何か？
• RQ5 正則化された行列式のゼロ点とペロン＝フロベニウス作用素の固有値の間に一対一対応が成立するか？

主な発見

• ペロン＝フロベニウス作用素 M のスペクトルは、連続スペクトル σ_c = [0,1] と、0 や 1 を除く点に蓄積点を持たない純粋な点スペクトル σ_p に分解される。
• 正則化フレドホルム行列式 d(λ) は、区間 [0,1] を除く複素平面全体に正則に拡張可能である。
• d(λ) は、[0,1] の両側から、異なるリーマン面上の [0,1] − {0,1} の近傍へ解析接続可能である。
• C − [0,1] 内の d(λ) のゼロ集合は、M の点スペクトルと一対一に対応する。
• 自己同型写像 λ(z) = (1+z)²/(4z) を施した後、関数 d(λ(z)) は開単位円板を含む領域上で正則関数に拡張可能である。
• 本構成により、行列式に基づく手法を用いて非一様な双曲的系における間欠性を解析するためのスペクトル的道具が得られる。