[論文レビュー] Intermittency in a catalytic random medium

Jürgen Gärtner, W.Th.F. den Hollander|Leiden Repository (Leiden University)|Jun 14, 2004

Theoretical and Computational Physics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、時間的・空間的変動を示す確率的ポテンシャルを有する触媒的ランダム媒体によって駆動される確率的反応拡散系における間欠性を、時間的・空間的変動を示す確率的ポテンシャルを有する放物型アンダーソンモデルを用いて調査する。解は空間的・時間的局在性を示す高さのピークを有する強力な間欠性を示すことが確立され、解の質量の局在化およびモーメントの精密な漸近的推定が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we study intermittency for the parabolic Anderson equation $\partial u/\partial t=κΔu+ξu$, where $u:\mathbb{Z}^d imes [0,\infty) o\mathbb{R}$, $κ$ is the diffusion constant, $Δ$ is the discrete Laplacian and $ξ:\mathbb{Z}^d imes[0,\infty) o\mathbb {R}$ is a space-time random medium. We focus on the case where $ξ$ is $γ$ times the random medium that is obtained by running independent simple random walks with diffusion constant $ρ$ starting from a Poisson random field with intensity $ν$. Throughout the paper, we assume that $κ,γ,ρ,ν\in (0,\infty)$. The solution of the equation describes the evolution of a ``reactant'' $u$ under the influence of a ``catalyst'' $ξ$. We consider the annealed Lyapunov exponents, that is, the exponential growth rates of the successive moments of $u$, and show that they display an interesting dependence on the dimension $d$ and on the parameters $κ,γ,ρ,ν$, with qualitatively different intermittency behavior in $d=1,2$, in $d=3$ and in $d\geq4$. Special attention is given to the asymptotics of these Lyapunov exponents for $κ\downarrow0$ and $κ o\infty$.

研究の動機と目的

• 時間的・空間的変動を示す確率的ポテンシャルを有する触媒的ランダム媒体における放物型アンダーソン方程式の解の挙動を理解すること。
• 解の質量が希少な空間的領域に集中するという特徴を有する間欠性現象を調査すること。
• 解のモーメントの精密な漸近的推定を導出し、解のピークの局在化を定量化すること。
• 解が強い間欠性を示す条件を確立すること、特にランダム触媒の存在下での挙動を明らかにすること。
• ランダムポテンシャルと拡散過程の間の相互作用が解の構造に与える影響を分析すること。

提案手法

• 触媒的媒体を表す時間的・空間的変動を示す確率的ポテンシャルを有する放物型アンダーソン方程式を用いて、系をモデル化すること。
• モーメントに基づく解析を用いて、解の質量の時間的増大および局在化を研究すること。
• 大偏差技法および経路ごとの推定を用いて、希少な空間的領域が解のモーメントに与える寄与を分析すること。
• フェインマン＝カックの公式を用いて、解をランダムポテンシャル内を移動するブラウン運動経路上の期待値として表現すること。
• スケーリングおよび確率的局在化の議論を用いて、モーメントの漸近的挙動を分析すること。
• 解の質量が時間の経過とともに縮小する領域に集中することを示すことで、強い間欠性領域の存在を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 触媒的ランダム媒体の存在が、放物型アンダーソン方程式の解の間欠性特性にどのように影響するか？
• RQ2 解のモーメントの長期的極限における漸近的挙動は何か？
• RQ3 解の質量はどの空間的領域に集中するのか？ また、この局在化は時間の経過とともにどのように変化するか？
• RQ4 解が強い間欠性を示す条件は何か？ また、これはランダムポテンシャルの構造とどのように関係するか？
• RQ5 触媒の確率的ゆらぎは、解のモーメントのスケーリングにどのように影響するか？

主な発見

• 解は強い間欠性を示し、$p$-次のモーメントは $\exp(\theta_p t)$ のように漸近的に増大する。ここで $\theta_p$ は $p$ の正かつ厳密に凸な関数である。
• 解の $p$-次のモーメントは時間とともに指数関数的に増大し、その増加率 $\theta_p$ はモーメントの順序 $p$ およびランダムポテンシャルの統計的性質に依存する。
• 時間の経過に従い、解の質量は縮小する領域に集中する。高活性領域の数は指数的ではなく、部分的に指数的以下に増加する。
• 解の局在化は拡散とランダムポテンシャルの相互作用によって支配され、最も活発な領域は触媒の希少かつ有利な実現に一致する。
• モーメントの漸近的挙動は、ポテンシャルのモーメント母関数とブラウン運動経路のエネルギーを含む変分公式によって特徴づけられる。
• 解の間欠性は弱い結合下でも安定しており、触媒が空間的に相関を示し、時間的に変動しても依然として持続する。