[論文レビュー] Intermittency of dynamical phases in a quantum spin glass

Vadim Smelyanskiy, Kostyantyn Kechedzhi+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2019

Theoretical and Computational Physics参考文献 1被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、量子スピンガラスの固有スペクトルに、2種類の非エルゴード的拡張状態（NEE）が交互に現れる新しい間歇的構造を発見し、解析的に記述している。これらの状態は、$z$-型（古典的スピンガラス構造を継承し、長時間にわたる崩壊を示す）と$x$-型（整数の$x$-スピン磁化を保存する）である。主な結果は、これら異なるランダム行列アンサンブルに従うNEEバンドが、高エネルギー密度の横磁場下でも、低エネルギースピン空間における新しい量子アルゴリズムによる状態集積を可能にし、統計的に特徴のないランダムエネルギー模型（Random Energy Model）においても出現することから、実用的なNP困難問題に関連している可能性を示唆している。

ABSTRACT

Answering the question of existence of efficient quantum algorithms for NP-hard problems require deep theoretical understanding of the properties of the low-energy eigenstates and long-time coherent dynamics in quantum spin glasses. We discovered and described analytically the property of asymptotic orthogonality resulting in a new type of structure in quantum spin glass. Its eigen-spectrum is split into the alternating sequence of bands formed by quantum states of two distinct types ($x$ and $z$). Those of $z$-type are non-ergodic extended eigenstates (NEE) in the basis of $\{σ_z\}$ operators that inherit the structure of the classical spin glass with exponentially long decay times of Edwards Anderson order parameter at any finite value of transverse field $B_{\perp}$. Those of $x$-type form narrow bands of NEEs that conserve the integer-valued $x$-magnetization. Quantum evolution within a given band of each type is described by a Hamiltonian that belongs to either the ensemble of Preferred Basis Levi matrices ($z$-type) or Gaussian Orthogonal ensemble ($x$-type). We characterize the non-equilibrium dynamics using fractal dimension $D$ that depends on energy density (temperature) and plays a role of thermodynamic potential: $D=0$ in MBL phase, $0

研究の動機と目的

• 量子スピンガラスにおける低エネルギー固有状態の構造と長時間にわたるコherentなダイナミクスを理解すること。これは、量子アルゴリズムにとって不可欠である。
• 量子スピンガラスの固有スペクトルに、2種類の異なるNEEタイプが交互に現れる新しいタイプの間歇的構造を特定・特徴づけること。
• この間歇的構造が、統計的に特徴のないランダムエネルギー模型でさえも出現することを確立し、実用的なNP困難問題への関連性を示すこと。
• 固有状態のフラクタル次元$D$を熱力学的挙動と関連づけること。$D=0$（MBL）、$0<D<1$（NEE）、$D\to1$（エルゴード）の無限温度における挙動を定義する。
• 低エネルギー領域におけるNEEバンド内での状態集積に基づく、新しい量子探索型アルゴリズムを提案すること。

提案手法

• 量子スピンガラスハミルトニアン$H = H_{\rm cl} + H_D$の固有スペクトル構造を解析的に導出。ここで$H_{\rm cl}$は古典的スピンガラスを記述し、$H_D = -B_\perp \sum \sigma_x^k$は横方向トンネルを導入する。
• 固有状態を2種類に分類：$z$-型（$\sigma_z$基底において非エルゴード的拡張、古典的構造を継承）と$x$-型（$x$-スピン磁化を保存する非エルゴード的拡張）。
• 各バンド内での量子ダイナミクスをランダム行列アンサンブルでモデル化：$z$-型には「好適基底レヴィ行列」、$x$-型にはガウス正規直交アンサンブル（GOE）を用いる。
• フラクタル次元$D$を局在化からエルゴード性への遷移を特徴づける熱力学的ポテンシャルとして定義：$D=0$（MBL）、$0<D<1$（NEE）、$D\to1$（エルゴード相）。
• エネルギーおよび磁場パラメータの関数として、$x$-型および$z$-型状態の相対的密度を特定する累積状態数指数$\gamma_{x,z}(e, B_\perp)$を計算。
• 相転移線を$\gamma_z(e)$と$\gamma_x(e, B_\perp)$の等価性から導出し、$\Delta\gamma = \gamma_z(e) - \gamma_x(e, B_\perp) = 0$と定義。両状態タイプの有限温度分配関数を用いて妥当性を検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子スピンガラスは、2種類の異なる非エルゴード的拡張状態（NEE）が交互に現れる新しい間歇的構造を固有スペクトルに示すか？
• RQ2 これらのバンド内での長時間にわたるコherentなダイナミクスは、既知のランダム行列アンサンブルで記述可能か？また、$z$-型と$x$-型状態ではどのように異なるか？
• RQ3 フラクタル次元$D$は、スペクトル全体にわたる局在化からエルゴード性への遷移を特徴づける役割を果たすか？
• RQ4 この間歇的構造は、統計的に特徴のないランダムエネルギー模型でも出現するか？もしそうなら、実用的なNP困難問題への関連性を示唆するか？
• RQ5 累積状態数指数$\gamma_{x,z}$を用いて、$x$-型および$z$-型状態の相対的密度を定量的に評価できるか？相転移はどこで発生するか？

主な発見

• 量子スピンガラスの固有スペクトルは、$z$-型と$x$-型の非エルゴード的拡張状態（NEE）が交互に現れるバンドに分割される。$z$-型状態は古典的スピンガラス構造を継承し、任意の有限$B_\perp$において、エドワーズ＝アンドリュース順序パラメータの指数的長寿命な崩壊を示す。
• $x$-型NEEは整数の$x$-スピン磁化を保存する狭帯域を形成し、そのダイナミクスはガウス正規直交アンサンブル（GOE）に従う。一方、$z$-型NEEは好適基底レヴィ行列アンサンブルに従う。
• フラクタル次元$D$は熱力学的ポテンシャルとして機能する：$D=0$（多体局在化（MBL）相）、$0<D<1$（NEE相）、$D\to1$（無限温度におけるエルゴード相）。
• 大$B_\perp$下でも、MBL状態とNEE状態が同じエネルギー範囲に共存しており、このモデルでは局在化と拡張的挙動が排他的ではないことが示唆される。
• 相転移は$\Delta\gamma = \gamma_z(e) - \gamma_x(e, B_\perp) = 0$のとき発生し、低エネルギー密度$e \ll 1$において、臨界点は$B_\perp = 1/\sqrt{2}$に位置する。
• $x$-状態の分配関数補正は無視できる（$\mathcal{O}(2^{-\alpha n})$）、低温度極限において自由スピンの結果を用いる妥当性が裏付けられる。一方、$z$-状態の自由エネルギーはQREMの古典的レプリカ解と一致する。