[論文レビュー] Intermittent distribution of tracers advected by a compressible random flow

Jérémie Bec, Krzysztof Gawędzki+1 more|ArXiv.org|Oct 13, 2003

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、圧縮性ランダム流れにおけるトレーサー密度の多分岐スケーリングと、有限時間リャプノフ指数（伸び率）の極値確率の間の定量的関係を確立する。圧縮性クライチナンモデルを用いて、質量モーメントのスケーリング指数ξₙの解析的表現を導出し、不規則で強く伸びる流れの実現が間欠性を引き起こすことを示す。数値シミュレーションにより予測されたスケーリングと臨界順序n_crにおける飽和が確認された。

ABSTRACT

Multifractal properties of a tracer density passively advected by a compressible random velocity field are characterized. A relationship is established between the statistical properties of mass on the dynamical fractal attractor towards which the trajectories converge and large deviations of the stretching rates of the flow. In the framework of the compressible Kraichnan model, this result is illustrated by analytical calculations and confirmed by numerical simulations.

研究の動機と目的

• 圧縮性ランダム流れにおけるトレーサー密度の多分岐的性質を特徴づけること。
• トレーサー質量モーメントのスケーリング指数ξₙを、流れの伸び率（有限時間リャプノフ指数）の極値確率と関連づけること。
• アンネールドHentschel-ProcacciaスペクトルHP_an(n)とダイナミカルアトラクタの統計的性質との間の関係を確立すること。
• 長時間平均を用いたクライチナンモデルの数値シミュレーションを通じて、理論的予測を検証すること。

提案手法

• ガウス分布かつ時間にかけて白色雑音である速度場を用いた圧縮性クライチナンモデルを用い、受動的トレーサーの輸送をモデル化する。
• トレーサー密度ρ*を、ラグランジュ軌道が収束するダイナミカルアトラクタ上の不変測度として定義する。
• 小スケール質量分布を特徴づけるために、局所的質量m_r(x)とそのスケーリング指数h_r(x)を導入する。
• スケーリング⟨m_r^n⟩ ∼ r^ξₙに基づき、レジェンドル変換によるレート関数S(h)と関連づけたアンネールドHentschel-ProcacciaスペクトルHP_an(n)を導出する。
• ξₙを変形テンソルの固有値の同時分布の母関数を介して、伸び率σ_iの極値確率と関連づける。
• 最大10⁵個のトレーサーと10⁸回のトゥルーバイタイムを用いた数値シミュレーションを実施し、モーメントを計算し、スケーリング指数の整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮性流れにおけるトレーサー質量モーメントのスケーリング指数ξₙは、有限時間リャプノフ指数の極値確率とどのように関係するか？
• RQ2 ξₙが飽和する臨界順序n_crは何かを決定づけるか。また、圧縮性に依存してどのように変化するか？
• RQ3 トレーサー測度の多分岐スペクトルf(h)は、伸び率の統計から導出可能か？
• RQ4 モーメント⟨m_r^n⟩はrに対してどのようにスケーリングするか。これによりトレーサー分布の間欠性および非ガウス性にどのような示唆が得られるか？

主な発見

• トレーサー分布の質量モーメントのスケーリング指数ξₙは、流れの伸び率の極値確率によって決定づけられ、明確な解析的関係が導出された。
• 圧縮性クライチナンモデルにおいて、指数ξₙはnに対して非線形的依存を示し、m_rの分布に強い間欠性および非ガウス的尾部が存在することを示唆する。
• ξₙが飽和する臨界順序n_crは、同一直線型極限におけるFokker-Planck作用素のゼロモード解の可積分性によって決定され、℘ < 1/6の場合はn_cr = 1/(6℘)、℘ > 1/6の場合はn_cr = 1/(6(1−℘))となる。
• 最大10⁸回のトゥルーバイタイムを用いた数値シミュレーションにより、理論的予測が確認され、解析的スケーリング指数とn_crにおける飽和が良好に一致した。
• 整数nに対して、モーメント⟨m_r^n⟩はトレーサー密度の定常相関関数F_{n+1}と関連づけられ、これは2階微分作用素M_{n+1}^†のゼロモードであり、その同次次元がξₙを与える。
• クエンチドおよびアンネールドHentschel-Procacciaスペクトルは異なり、HP_qu(n) ≥ HP_an(n)であり、アンネールドスペクトルはスケーリングξₙによって完全に決定される。