[論文レビュー] Internal quark symmetries and colour SU(3) entangled with Z_3-graded Lorentz algebra

Richard Kerner, J. Lukierski|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2020

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 30被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、72成分のマスタークォーカー場を用いて、内部クォーク対称性—色のSU(3)、フレーバーのSU(2)、世代のSU(3)を統一する、ローレンツ代数のZ3-階化拡張を提案する。3つの成分のクリフォード代数を用いたZ3-階化質量パラメータ（1つの実数、2つの複素共役）を持つ12成分のカラーディラック方程式を構築することで、Z3-階化ローレンツ代数の忠実なスピノリアル表現を実現し、標準模型におけるすべてのクォーク自由度を6つの12成分場によって統一的に記述可能となる。

ABSTRACT

In the current version of QCD the quarks are described by ordinary Dirac fields, organized in the following internal symmetry multiplets: the $SU(3)$ colour, the $SU(2)$ flavour, and broken $SU(3)$ providing the family triplets. oindent In this paper we argue that internal and external (i.e. space-time) symmetries are entangled at least in the colour sector in order to introduce the spinorial quark fields in a way providing all the internal quark's degrees of freedom which do appear in the Standard Model. Because the $SU(3)$ colour algebra is endowed with natural $Z_3$-graded discrete automorphisms, in order to introduce entanglement the $Z_3$-graded version of Lorentz and Poincar\'e algebras with their realizations are considered. The colour multiplets of quarks are described by $12$-component colour Dirac equations, with a $Z_3$-graded triplet of masses (one real and a Lee-Wick complex conjugate pair). We argue that all quarks in the Standard Model can be described by the $72$-component master quark sextet of $12$-component coloured Dirac fields.

研究の動機と目的

• 内部クォーク対称性—色のSU(3)、フレーバーのSU(2)、世代のSU(3)を、1つの代数的枠組み内で統一すること。
• クォークを標準的な4成分ディラック場として扱う際の運動論的不整合を解消するため、Z3-階化構造を持つ12成分のカラーディラック場を導入すること。
• Z3-階化ローレンツ代数の忠実なスピノリアル表現を構築し、6つの12成分場に作用させることで72成分のマスタークォーク場を生成すること。
• j = e^{2πi/3} を用いたZ3-階化質量トリプレット (m, jm, j²m) を実現し、自由クォーク力学における複素波動ベクトルと減衰指数関数的解を可能にすること。
• Z3-階化クライン＝ゴルドン場のプロパゲーターと振動子代数を定義することで、将来の量子化およびゲージ結合の運動論的基盤を提供すること。

提案手法

• 3×3行列 Q₁, Q₂, Q₃ 及びそのエルミート共役を用いた三重クリフォード代数を用い、grade(Qₖ) = 1 および grade(Q†ₖ) = 2 で定義されるZ3-階化を導入する。
• M₃(ℂ) ⊗ H₂ ⊗ H₂ のテンソル積を用いて12×12の一般化されたディラック Γμ 行列を構築し、M₃(ℂ) がSU(3)色を記述し、H₂ がスピノル自由度を表す。
• Z3-階化質量トリプレット m (実数), jm, j²m (複素共役対) を導入し、6次のクライン＝ゴルドンに類似した波動方程式を導出する。
• Z3-階化ローレンツ代数 L = L⁽⁰⁾ ⊕ L⁽¹⁾ ⊕ L⁽²⁾ のベクトル的およびスピノリアル表現を、4元運動量ベクトルのトリプレットおよび72成分マスターフィールドに作用させることで実現する。
• 6次方程式を複素質量を持つ3つの結合されたクライン＝ゴルドン方程式に分解することで、Z3-階化クォーク場のプロパゲーターを導出する。
• Z3-階化ディラック行列から導かれる投影演算子を用いて、Z3-共変性を保つカラースピノルを定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部クォーク対称性（色、フレーバー、世代）を、Z3-階化ローレンツ代数の1つの非可約表現に統一できるか？
• RQ2 Z3-階化質量パラメータを持つ12成分のカラーディラック場が、標準模型と整合的にすべてのクォーク自由度を記述できるか？
• RQ3 Z3-階化ローレンツ代数のスピノリアル表現の構造は何か？ そして、72成分マスターフィールドに忠実に作用するか？
• RQ4 Z3-階化質量パラメータ (m, jm, j²m) は分散関係をどのように変更し、自由クォーク力学における減衰指数関数的解を生じさせるか？
• RQ5 Z3-階化フェルミオン場の量子化およびZ3-共変性を持つ計量を有する振動子代数を定義するための運動論的基盤は何か？

主な発見

• 本稿は、72成分のマスタークォーク場を、6つの12成分のカラーディラック場として構築し、Z3-階化ローレンツ代数のスピノリアル表現を忠実に実現した。
• 自由クォーク力学は、質量 m, jm, j²m を持つ3つのクライン＝ゴルドン作用素の積に分解される6次波動方程式に従い、複素波動ベクトルと減衰解が得られる。
• Z3-階化質量トリプレット (m, jm, j²m) はZ3対称性に関して共変であり、j = e^{2πi/3} である。これにより、残留因子が (1, j, j²) である3つの異なるヒルベルト＝フォック空間計量を持つ3つの異なるプロパゲーターが定義される。
• 12×12の一般化されたディラック行列は、生成子 Qₖ と Q†ₖ を持つ三重クリフォード代数から構成され、Z3-階化交換関係を満たし、閉じた代数的構造を形成する。
• Z3-階化ローレンツ代数のベクトル的実現は、4元運動量ベクトルのトリプレット（1つの実数、2つの複素共役）に作用し、運動量空間におけるZ3対称性を保存する。
• この枠組みは、自然にヘリカルフレーバー二重項を組み込み、一般化されたディラック行列から導かれるZ3-共変性を持つ投影演算子を用いて、ヘリカルカラースピノルを定義可能である。