[論文レビュー] Interpolating and sampling sequences for entire functions

Nicolas Marco, Xavier Massaneda+1 more|ArXiv.org|May 23, 2002

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、重み関数 φ のラプラシアン Δφ が二重化測度である一般化されたフォック空間における、補間およびサンプリング列のベウリング型密度条件を確立する。Δφ から導かれる計量と重み付きノルムを用いて、古典的フォック空間におけるセイプの結果を一般化し、以前の有界な二重化重みに関する研究を拡張し、Δφ が誘導する幾何学的構造に基づいた適応された密度条件を用いて補間およびサンプリングを特徴づける。

ABSTRACT

We characterise interpolating and sampling sequences for the spaces of entire functions f such that f e^{-phi} belongs to L^p(C), p>=1 (and some related weighted classes), where phi is a subharmonic weight whose Laplacian is a doubling measure. The results are expressed in terms of some densities adapted to the metric induced by the Laplacian of phi. They generalise previous results by Seip for the case phi(z)=|z|^2, and by Berndtsson & Ortega-Cerdà and Ortega-Cerdà & Seip for the case when the Laplacian of phi is bounded above and below.

研究の動機と目的

• Fock型空間における補間およびサンプリングのベウリング型密度条件を、φ(z) = |z|² の古典的ケースを超えて一般化すること。
• セイプ、ベルンストゥルム–オルテガ・セラダ、オルテガ・セラダ–セイプの以前の結果を、Δφ が二重化測度である場合にまで拡張することにより、より一般な成長条件を許容すること。
• 補間およびサンプリング列を、一様な境界に依存するのではなく、Δφ が誘導する計量に基づいた適応された密度条件を用いて特徴づけること。
• 整関数の重み付き L^p 空間における補間およびサンプリングの鋭い必要十分条件を確立すること。

提案手法

• 著者らは、ラプラシアン Δφ が二重化測度である副調和重み φ と、緩やかな成長を示す平坦な重み ω を用いて、重み付きフォック空間 F_{φ,ω}^p を定義する。
• μ(D(z,ρ(z))) = 1 となる半径 ρ(z) を用いて、Δφ の正則化版を定義し、C 上の幾何的計量を構成する。
• Hörmander の ∂̄-問題に対する L² 評価を用い、点での値および微分が消える ∂̄u = ∂̄F の解を通じて、制御された成長を示す補間関数を構成する。
• 切断関数と全純拡張を用いて、精密な点ごとの減衰推定を持つピーク関数 h_η を構成し、これにより射影作用素 P_η を構成する。
• 主な技術的道具は、[Ber97, Lemma 3.1] の修正版であり、単位円板にスケーリングした後に適用することで、L² および L∞ 界の下で、上界ノルム推定を制御する。
• 弱収束する列の解析とスケーリングされた平行移動による不変性を用いて、ρ-計量に関する上界および下界密度の観点から、必要十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラプラシアン Δφ が二重化測度である副調和重みを持つ一般化されたフォック空間において、列が補間可能であるための必要十分な密度条件は何か？
• RQ2 補間およびサンプリングの性質は、重み関数 φ のラプラシアンが誘導する幾何学的構造にどのように依存するか？
• RQ3 Δφ が上界および下界に有界でないが、二重化である場合に、フォック空間におけるセイプの古典的結果を拡張できるか？
• RQ4 正則化半径 ρ(z) は、補間およびサンプリングの正しい密度を定義するために果たす役割は何か？
• RQ5 これらの重み付き空間において、制御された成長およびノルム推定を持つ補間関数をどのように構成できるか？

主な発見

• 本稿では、列 Λ が F_{φ,ω}^p に対して補間可能であるための必要十分条件が、ρ-計量における下界密度条件であると示されている。ここで密度は、半径 ρ(z) の球と Δφ の二重化性に基づいて定義される。
• 列 Λ が F_{φ,ω}^p に対してサンプリング可能であるための必要十分条件は、上界密度条件であり、制限写像が下から有界であることを保証する。
• 補間定数 M(Λ) およびサンプリング定数 L(Λ) が一様に有界であるための必要十分条件は、列が適切な密度条件を満たすことである。
• 必要条件を証明するために、|h_η(z)| ≤ C e^{φ(z)−φ(η)} ρ(η)^2 / ρ(z) を満たすピーク関数 h_η の構成が不可欠である。
• 著者らは、u(η) = ∂u(η) = 0 を満たす ∂̄-方程式の解 u に対して、||u||_{F_{φ,ρ}^∞} ≤ C ρ(η)^2 e^{-φ(η)} が成り立つことを証明しており、これはノルム制御にとって重要である。
• 結果は、φ(z) = |z|² の場合におけるセイプの古典的結果を一般化し、φ(z) = |z|^β (β > 0) のような重みや、ω = ρ^α を含む枠組みを拡張する。