[論文レビュー] Interpolating between Hausdorff and box dimension

Amlan Banaji|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2023

Advanced Numerical Analysis Techniques被引用数 1

ひとこと要約

本学位論文は、パラメータ θ ∈ (0,1) を用いて被覆集合の相対的サイズを制限することにより、ハウスドルフ次元とボックス次元の間を滑らかに補間する一般化された中間次元を導入する。Dini微分を用いて、与えられた関数がコンパクト集合の中間次元として実現可能であるための必要十分条件を確立し、無限大の共形IFSの極限集合の中間次元が、ハウスドルフ次元と固定点集合の次元の最大値によって決定されることを証明し、ベッドフォード–マクマヘンンカーペットの中間次元に対して正確な公式を導出し、可算無限の段階遷移を示し、双リプシッツ同値性が多分岐スペクトルの等価性を意味することを示している。

ABSTRACT

Hausdorff and box dimension are two familiar notions of fractal dimension. Box dimension can be larger than Hausdorff dimension, because in the definition of box dimension, all sets in the cover have the same diameter, but for Hausdorff dimension there is no such restriction. This thesis focuses on a family of dimensions parameterised by θ ∈ (0,1), called the intermediate dimensions, which are defined by requiring that diam(U) ⩽ (diam(V))ᶿ for all sets U, V in the cover. We begin by generalising the intermediate dimensions to allow for greater refinement in how the relative sizes of the covering sets are restricted. These new dimensions can recover the interpolation between Hausdorff and box dimension for compact sets whose intermediate dimensions do not tend to the Hausdorff dimension as θ → 0. We also use a Moran set construction to prove a necessary and sufficient condition, in terms of Dini derivatives, for a given function to be realised as the intermediate dimensions of a set. We proceed to prove that the intermediate dimensions of limit sets of infinite conformal iterated function systems are given by the maximum of the Hausdorff dimension of the limit set and the intermediate dimensions of the set of fixed points of the contractions. This applies to sets defined using continued fraction expansions, and has applications to dimensions of projections, fractional Brownian images, and general Hölder images. Finally, we determine a formula for the intermediate dimensions of all self-affine Bedford–McMullen carpets. The functions display features not witnessed in previous examples, such as having countably many phase transitions. We deduce that two carpets have equal intermediate dimensions if and only if the multifractal spectra of the corresponding uniform Bernoulli measures coincide. This shows that if two carpets are bi-Lipschitz equivalent then the multifractal spectra are equal.

研究の動機と目的

• 被覆における被覆集合の相対的サイズの制限を精緻化することで、中間次元を一般化すること。
• Dini微分を用いて、与えられた関数がコンパクト集合の中間次元として実現可能であるための必要十分条件を確立すること。
• 無限大の共形反復関数系の極限集合の中間次元を特徴付けること。
• 自己相似的ベッドフォード–マクマヘンンカーペットの中間次元に対して正確な公式を導出し、その段階遷移を分析すること。
• 二つのベッドフォード–マクマヘンンカーペットの中間次元が等しいための必要十分条件が、一様ベルヌーイ測度に対する多分岐スペクトルが一致することであることを証明すること。

提案手法

• 被覆のすべての U, V に対して diam(U) ≤ (diam(V))θ を要求することで、被覆集合のサイズ比に対する柔軟な制御を可能にする一般化された中間次元の族を導入する。
• Dini微分を用いて、次元関数の達成可能性を関数のDini微分と結びつけるためのモーラン集合構成を用いる。
• 熱力学的形式主義およびレート関数解析の技術を用いて、無限大の共形IFSアトラクターの中間次元を研究する。
• 一様ベルヌーイ測度に関連するレート関数のルジャンドル変換を用いて、ベッドフォード–マクマヘンンカーペットの中間次元に対して明示的な公式を導出する。
• 母関数の微分を用いて二つのカーペットの構造を比較し、多分岐スペクトルの等価性によって中間次元が等しくなることを示す。
• 次元公式およびパラメータ関係の代数的変形を通じて、二つのカーペットの双リプシッツ同値性と多分岐スペクトルの等価性の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの関数がコンパクト集合の中間次元として現れることができ、その実現可能性を保証する条件は何か？
• RQ2 無限大の共形反復関数系の極限集合に対して中間次元はどのように振る舞い、その値は何かによって決定されるか？
• RQ3 自己相似的ベッドフォード–マクマヘンンカーペットの中間次元の正確な形は何か、θ に依存してどのように変化するか？
• RQ4 二つのベッドフォード–マクマヘンンカーペットの中間次元が等しいための必要十分条件は、一様ベルヌーイ測度に対する多分岐スペクトルが一致することか？
• RQ5 カーペット間の双リプシッツ同値性と多分岐スペクトルの等価性の関係は何か？

主な発見

• 無限大の共形IFSの極限集合の中間次元は、極限集合のハウスドルフ次元と、縮小写像の固定点集合の中間次元の最大値に等しい。
• ベッドフォード–マクマヘンンカーペットの中間次元は (γ⁻¹, 1) 上で実解析的であり、導関数が不連続となる可算無限の段階遷移を示す。
• 二つのベッドフォード–マクマヘンンカーペットの中間次元が等しいための必要十分条件は、それらに対応する一様ベルヌーイ測度の多分岐スペクトルが一致することである。
• 二つのベッドフォード–マクマヘンンカーペットが双リプシッツ同値であるならば、それらの多分岐スペクトルが等しくなるし、逆に多分岐スペクトルが等しければ中間次元も等しくなる。
• カーペットの中間次元関数は、パラメータ M, M₀, Rᵢ, Nᵢ および比 M′/M によって完全に決定され、段階遷移構造はレート関数 I(t) に符号化されている。
• 関数 f(θ) がコンパクト集合の中間次元であるための必要十分条件は、f が連続的かつ増加的であり、かつそのDini微分が測度のレート関数に関連するある種の成長制約を満たすことである。