[論文レビュー] Interpolating Thin-Shell and Sharp Large-Deviation Estimates For Isotropic Log-Concave Measures

Olivier Guédon, Emanuel Milman|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2010

Statistical and numerical algorithms参考文献 5被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、$ℝ^n$ 内の等方的対数凸ランダムベクトルに対して、薄いシェル推定と鋭い大偏差推定の間を滑らかに補間する統一的な濃度不等式を確立する。すべての $t \geq 0$ に対して、$\mathbb{P}(||X| - \sqrt{n}| \geq t\sqrt{n}) \leq C\exp(-cn^{1/2}\min(t^3,t))$ が成り立つことを証明し、既存の結果を改善するとともに、パウリスの鋭い大偏差境界を極限ケースとして回復する。特に $X$ が $\psi_\alpha$（$\alpha \in (1,2]$）である場合には、より緊密な境界が得られ、薄いシェル幅は $O(n^{1/3})$ となり、$\psi_2$ ベクトルでは $O(n^{1/4})$ となる。

ABSTRACT

Given an isotropic random vector $X$ with log-concave density in Euclidean space $\Real^n$, we study the concentration properties of $|X|$ on all scales, both above and below its expectation. We show in particular that: \[ ¶(\abs{|X| -\sqrt{n}} \geq t \sqrt{n}) \leq C \exp(-c n^{1/2} \min(t^3,t)) \;\;\; \forall t \geq 0 ~, \] for some universal constants $c,C>0$. This improves the best known deviation results on the thin-shell and mesoscopic scales due to Fleury and Klartag, respectively, and recovers the sharp large-deviation estimate of Paouris. Another new feature of our estimate is that it improves when $X$ is $ψ_α$ ($α\in (1,2]$), in precise agreement with Paouris' estimates. The upper bound on the thin-shell width $\sqrt{\Var(|X|)}$ we obtain is of the order of $n^{1/3}$, and improves down to $n^{1/4}$ when $X$ is $ψ_2$. Our estimates thus continuously interpolate between a new best known thin-shell estimate and the sharp large-deviation estimate of Paouris. As a consequence, a new best known bound on the Cheeger isoperimetric constant appearing in a conjecture of Kannan--Lovász--Simonovits is deduced.

研究の動機と目的

• すべてのスケールにわたって、等方的対数凸ランダムベクトルのユークリッドノルム $|X|$ の既存の濃度推定を統一的かつ改善すること。
• 薄いシェル予想とパウリスの鋭い大偏差推定の間のギャップを埋めること。
• これらの領域の間を連続的に補間する境界を導出すること、特に $X$ が $\psi_\alpha$（$\alpha \in (1,2]$）である場合に改善が顕著であること。
• KLS予想を支持する、新しい最良既知のチェーバー等周定数の上界を導出すること。

提案手法

• 薄いシェルと大偏差領域の間の補間を用いて、$|X|$ に対する新しい濃度不等式を導出する。
• 凸幾何学の技術を応用し、特にプリコーパ–レインデラーの定理およびボレルの定理を用いて、対数凸密度を分析する。
• $\mathbb{R}^m$ 内の極座標と体積比較を用いて、周辺密度およびその比を推定する。
• プリコーパ–レインデラー不等式とスターリングの近似を用いたモーメント比較により、体積比を制御する。
• 重心制約下で $f(0)/\|f\|_\infty$ の比を抑え込むための関数不等式を導入する。
• 幾何学的および確率的性質の関係を明らかにするために、$Z_q^+$-体および $K_{m+q}(w)$-体の結果を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等方的対数凸ベクトルの薄いシェルと鋭い大偏差領域の間を滑らかに補間する、1つの濃度不等式を導出可能か？
• RQ2 $\psi_\alpha$ 型の仮定が $|X|$ の濃度不等式にどのように改善をもたらすか？
• RQ3 等方的対数凸測度下で、薄いシェル幅 $\sqrt{\mathrm{Var}(|X|)}$ の最適なオーダーは何か？
• RQ4 新しい濃度推定は、チェーバー等周定数に対する改善された境界をもたらすか？
• RQ5 領域間の補間は、パウリスの鋭い大偏差推定を極限ケースとして回復するか？

主な発見

• 本稿は、任意の等方的対数凸ベクトル $X$ が $\mathbb{R}^n$ 内に存在する限り、すべての $t \geq 0$ に対して $\mathbb{P}(||X| - \sqrt{n}| \geq t\sqrt{n}) \leq C\exp(-cn^{1/2}\min(t^3,t))$ が成り立つことを確立する。
• この境界は、フラリーの薄いシェル推定およびクラルタグのミクロスコピック結果を改善し、パウリスの鋭い大偏差境界を極限ケースとして回復する。
• $X$ が $\alpha \in (1,2]$ に対して $\psi_\alpha$ である場合、境界はパウリスの推定と正確に一致する形で改善される。
• 薄いシェル幅 $\sqrt{\mathrm{Var}(|X|)}$ は $O(n^{1/3})$ で抑えられ、$X$ が $\psi_2$ である場合には $O(n^{1/4})$ に改善される。
• この結果は、Kannan–Lovász–Simonovits 予想を支持する、新しい最良既知のチェーバー等周定数の上界を示唆する。
• 解析により、重心が原点にある対数凸密度に対して、$f(0)/\|f\|_\infty$ の一様下界が得られ、体積比較に不可欠である。