[論文レビュー] Interpolation-Based Model Order Reduction for Polynomial Parametric Systems

Peter Benner, Pawan Goyal|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 26被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、多項式パラメトリック系に対する補間に基づくモデル還元（MOR）手法を提案する。一般化された多変数伝達関数とローインジャーに類似したアルゴリズムを用い、高品質な低次元モデルを自動的に構築する。この手法は元のシステムの非線形構造を保持し、正確で効率的なシミュレーションを実現する。さらに、非線形項の計算コストを低減するためにCUR行列近似を適用する。

ABSTRACT

In this work, we investigate a model order reduction scheme for polynomial parametric systems. We begin with defining the generalized multivariate transfer functions for the system. Based on this, we aim at constructing a reduced-order system, interpolating the defined generalized transfer functions at a given set of interpolation points. Furthermore, we provide a method, inspired by the Loewner approach for linear and (quadratic-)bilinear systems, to determine a good-quality reduced-order system in an automatic way. We also discuss the computational issues related to the proposed method and a potential application of CUR matrix approximation in order to further speed-up simulations of reduced-order systems. We test the efficiency of the proposed methods via several numerical examples.

研究の動機と目的

• 高次元のパラメトリック多項式力学系に対する自動的で補間ベースのモデル還元手法の開発。
• d次多項式系に適した一般化された多変数伝達関数の定義により、補間ベースMORを可能にする。
• 線形および2次系に限られるローインジャー枠組みを、一般の多項式パラメトリック系へ拡張する。
• 非線形項に於ける計算複雑度をCUR行列近似により低減することで、低次元シミュレーションの計算コストを削減する。
• 還元モデルにおいて元の非線形構造を保持することで、精度の向上を図る。

提案手法

• d次多項式パラメトリック系に適した一般化された多変数伝達関数を定義し、パrameterと周波数領域における入出力特性を特徴付ける。
• パrameterおよび周波数領域における選択された補間点で、元のシステムの一般化された伝達関数を補間する低次元モデルを構築する。
• Petrov-Galerkin射影に基づくローインジャーに類似したアルゴリズムを用い、事前のシミュレーションデータを必要とせず、自動的に低次元モデルを生成する。
• 片側または両側射影を適用して低次元モデルを導出するが、両側射影はより高い精度を達成する。
• 非線形項の低次元モデルに於いてCUR行列近似を適用し、計算コストを削減しながらも精度を維持する。
• 還元モデルを時間領域シミュレーションに統合し、精度と効率を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形および2次系に限られる補間ベースMORを、一般の多項式パラメトリック系へ効果的に拡張できるか。
• RQ2 d次多項式系に適した一般化された多変数伝達関数をどのように定義すれば、補間ベース還元が可能になるか。
• RQ3 スナップショットや事前のシミュレーションを必要とせず、ローインジャーに類似したアルゴリズムが高品質な低次元モデルを自動生成できるか。
• RQ4 CUR行列近似は、低次元非線形項における計算複雑度をどの程度低減できるか。
• RQ5 還元モデルにおいて元の非線形構造を保持することで、近似精度が向上するか。

主な発見

• 両側射影は片側射影よりも顕著に優れた低次元モデルを生成し、時間領域シミュレーションにおける相対誤差が低くなる。
• 両側射影とCUR近似の組み合わせは高い精度を維持しており、CURを適用しない両側射影モデルと比較して僅かに性能が低下するにとどまる。
• 片側射影モデルに対してもCUR近似を適用した場合も良好な性能を示し、異なる射影戦略に対して高いロバスト性を示す。
• 最も優れた性能を示した低次元モデル（両側射影＋CUR）の相対誤差は、すべてのテスト済みパrameter値および入力に対して10^-7未満で維持される。
• 提案手法は元の非線形性の多項式構造を保持しており、構造に依存しない手法よりもより高い精度の低次元モデルを生成する。
• 対数スケールまたはランダムに選択された補間点の使用は効果的であるが、誤差推定に基づく適応的選択によりさらに効率が向上する可能性がある。