[論文レビュー] Interpolation between H^p spaces and non-commutative generalizations, I

Gilles Pisier|ArXiv.org|Jun 4, 1991

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 9被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト変換の有界性と古典的因数分解のみを用いて、単位円板上の Hardy 空間 $H^p$ が $H^1$ と $H^\infty$ 間の実補間空間であることを、初等的な証明で示す。この手法は非可換設定へと拡張可能であり、$H^p(C_p)$ と $T_p$ がそれぞれ $H^1(C_1)$, $H^\infty(C_\infty)$ および $T_1$, $T_\infty$ 間の補間空間であることを示し、$L_p$ 空間と同一の K-functional を通じてノルムが同等であることを示す。

ABSTRACT

We give an elementary proof that the $H^p$ spaces over the unit disc (or the upper half plane) are the interpolation spaces for the real method of interpolation between $H^1$ and $H^\infty$. This was originally proved by Peter Jones. The proof uses only the boundedness of the Hilbert transform and the classical factorisation of a function in $H^p$ as a product of two functions in $H^q$ and $H^r$ with $1/q+1/r=1/p$. This proof extends without any real extra difficulty to the non-commutative setting and to several Banach space valued extensions of $H^p$ spaces. In particular, this proof easily extends to the couple $H^{p_0}(\ell_{q_0}),H^{p_1}(\ell_{q_1})$, with $1\leq p_0, p_1, q_0, q_1 \leq \infty$. In that situation, we prove that the real interpolation spaces and the K-functional are induced ( up to equivalence of norms ) by the same objects for the couple $L_{p_0}(\ell_{q_0}), L_{p_1}(\ell_{q_1})$. In another direction, let us denote by $C_p$ the space of all compact operators $x$ on Hilbert space such that $tr(|x|^p)

研究の動機と目的

• Peter Jones の定理、すなわち $H^p$ が $H^1$ と $H^\infty$ 間の実補間空間であるという事実の、新たな初等的証明を提供すること。
• 補間結果を作用素空間 $C_p$ および三角行列 $T_p$ を含む非可換設定へと拡張すること。
• $H^p(C_p)$ および $T_p$ の実補間空間が、$L_p$ 空間と同一の K-functional によって特徴づけられることを示すこと。
• バナッハ空間値関数をとる $H^p(B)$ 空間への一般化を行い、補間によるノルムの同等性を確立すること。

提案手法

• 『二乗／双対／二乗』の議論を用いる：$(H^{2p}, H^{2q})$ の K-閉包性が、$(H^p, H^q)$ の K-閉包性を示すために、点毎の積の有界性を $(H^p, H^q)_{1/2,\infty}$ へと用いる。
• 双対性を適用する：$(H^p, H^q)$ が K-閉じていることと、$(H^{p'}, H^{q'})$ が K-閉じていることは同値であり、$1/p + 1/p' = 1$ を満たす。
• マーティン・リースの定理を活用する：$1 < p < \infty$ に対して、ヒルベルト変換が $L_p$ 上で一様有界であることを用い、$(H^4, H^2)$ の K-閉包性を示し、その後、二乗／双対／二乗の連鎖により降下する。
• 古典的因数分解を用いる：任意の $f \in H^p$ は、$g \in H^{2p}$, $h \in H^{2q}$ とし、$1/p = 1/(2p) + 1/(2q)$ を満たすように $f = gh$ と表せる。これにより、補間と積構造を結びつける。
• 非可換設定への拡張には、等長埋め込み $K_q: C_q(H) \to C_{q,\infty}(H \otimes \ell_2)$ と商空間 $T_1/S_1$, $T_\infty/S_\infty$ 上の双対性議論を用いる。
• 同様の枠組みをバナッハ空間値関数 $H^p(B)$ に適用し、乗法作用素の因数分解と補間を用いて $H^p(B) = (H^1(B), H^\infty(B))_\theta$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素解析や高度な道具を用いずに、基本的な調和解析のみを用いて、$H^1$ と $H^\infty$ 間の $H^p$ の実補間性質を証明できるか？
• RQ2 $H^p$ 空間の実補間構造は、$C_p$ や $T_p$ のような非可換作用素空間へと拡張可能か？
• RQ3 $H^p(C_p)$ の K-functional は $L_p(C_p)$ のそれと同等か？ また、それらは元の $L_p$ カップの K-functional と一致するか？
• RQ4 バナッハ空間 $B$ 値関数をとる $H^p(B)$ の補間結果は、因数分解と有界な乗法作用素を用いて確立可能か？
• RQ5 カフタル＝ラーソン＝ウエイスが示唆したように、$C_1$ および $C_\infty$ における上三角行列空間への距離は、同一の作用素によって同時に実現可能か？

主な発見

• $0 < p < \infty$ に対して、$H^p$ はノルムの同等性を除いて、$(H^1, H^\infty)_\theta$ に等しい。ここで $\theta = 1/p$ である。
• 証明は、$1 < p < \infty$ における $L_p$ 上のヒルベルト変換の有界性と、$H^p$ 関数を $H^{2p}$ と $H^{2q}$ 関数の積に因数分解する古典的因数分解にのみ依存する。
• $(H^1(C_1), H^\infty(C_\infty))_\theta$ の実補間空間は、$1/p = 1 - \theta$ のとき、$H^p(C_p)$ と同型であり、$L_p(C_p)$ のノルムと同等である。
• 上三角行列の空間 $T_p$ は、$(T_1, T_\infty)_\theta$ に等しく、$L_p$ 空間と同一のノルム同等性を有する。
• 任意の分離可能なヒルベルト空間 $H$ に対して、$H^p(C_p(H)) = (H^1(C_1(H)), H^\infty(B(H)))_\theta$ が成り立ち、$\theta = 1 - 1/p$ である。同様の結果は $\widetilde{H}^p$-空間に対しても成り立つ。
• $C_1$ および $C_\infty$ における上三角行列空間への距離は、同一の作用素によって同時に実現可能であり、これはカフタル＝ラーソン＝ウエイスの結果を $p \in [1, \infty]$ 全体に拡張するものである。