[論文レビュー] Interpolation in the noncommutative Schur-Agler class

Joseph A. Ball, Vladimir Bolotnikov|ArXiv.org|Jun 26, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 53被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、可換なシュール＝アグラークラスから非可換なシュール＝アグラークラスへの古典的補間理論の拡張を扱い、非可換なヴァン・ネウマン不等式と保存的構造的多次元系の線形分数型伝達関数によって特徴づけられる。主な結果は、可換データを用いた補間問題がアーベル化によって可換補間問題に還元され、その可解性の必要十分条件がデータのスティーン型正定値行列条件として与えられることを示している。

ABSTRACT

The class of Schur-Agler functions over a domain ${\mathcal D} \subset {\mathbb C}^{d}$ is defined as the class of holomorphic operator-valued functions on ${\mathcal D}$ for which a certain von Neumann inequality is satisfied when a commuting tuple of operators satisfying a certain polynomial norm inequality is plugged in for the variables. Such functions are alternatively characterized as those having a linear-fractional presentation which identifies them as transfer functions of a certain type of conservative structured multidimensional linear system. There now has been introduced a noncommutative version of the Schur-Agler class which consists of formal power series in noncommuting indeterminants satisfying a noncommutative version of the von Neumann inequality when a tuple of operators (not necessarily commuting) coming from a noncommutative operator ball are plugged in for the formal indeterminants. Formal power series in this noncommutative Schur-Agler class in turn are characterized as those having a certain linear-fractional presentation in noncommuting variables identifying them as transfer functions of a recently introduced class of conservative structure multidimensional linear systems having evolution along a free semigroup rather than along an integer lattice. The purpose of this paper is to extend the previously developed interpolation theory for the commutative Schur-Agler class to this noncommutative setting.

研究の動機と目的

• 可換シュール＝アグラークラスにおける古典的補間理論を非可換な設定に拡張すること。
• 非可換な不定元における形式的べき級数の補間問題を、保存的構造的多次元系を用いて特徴づけること。
• 可換データを用いた補間がアーベル化によって可換シュール＝アグラークラスにおける可解問題に還元されることを示すこと。
• 非可換補間問題の可解性に関する必要十分条件を、ステイン型行列条件を用いて導出すること。

提案手法

• 非可換不定元における形式的べき級数は、自由モノイドの進化を示す保存的構造的多次元線形系（SNMLS）の伝達関数として特徴づけられる。
• 非可換なヴァン・ネウマン不等式を用いて、非可換作用素のn重組が非可換作用素球内にある場合の非可換シュール＝アグラークラスが定義される。
• 非可換べき級数の左および右評価写像を用いて補間問題が定式化され、古典的なネヴァンリンナ＝ピックおよびカラテオドリ＝フェージェル設定が一般化される。
• 非可換関数のアーベル化は、それらを可換シュール＝アグラークラス内の可換関数に写像し、既知の可解性基準への還元を可能にする。
• 重要な技術的道具として、作用素 $ M, N, X, Y $ を含むステイン方程式の導出が行われ、可解性条件はある正定値行列 $ P $ を用いて $ M^* P M - N^* P N = X^* X - Y^* Y $ と表現される。
• 特殊ケースとして、点評価データのための明示的行列表現が導出され、$ \big[ \frac{b_i b_j^* - c_i c_j^*}{1 - \langle \lambda_i, \lambda_j \rangle} \big] $ の正定値性が条件として得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可換シュール＝アグラークラスにおける補間理論を非可換な設定に拡張することは可能か？
• RQ2 非可換シュール＝アグラークラスを特徴づける非可換ヴァン・ネウマン不等式の非可換アナロジーは何か？
• RQ3 非可換不定元における補間問題は、どのように可換な状況における可解問題に還元できるか？
• RQ4 可換データを用いた非可換補間問題に対して、解の存在の必要十分条件は何か？

主な発見

• 非可換作用素のn重組が非可換作用素球内にある場合の非可換ヴァン・ネウマン不等式を用いて、非可換シュール＝アグラークラスが定義される。
• このクラスに属する形式的べき級数は、自由モノイドの進化を示す保存的構造的多次元線形系の線形分数型表現として伝達関数として表現可能である。
• 可換データを用いた補間問題は、非可換関数のアーベル化によって可換シュール＝アグラークラス内での同等問題に還元される。
• 非可換補間問題の可解性は、ステイン方程式 $ M^* P M - N^* P N = X^* X - Y^* Y $ の正定値解 $ P $ の存在と同値である。
• 点評価データの場合、可解性条件は行列 $ \big[ \frac{b_i b_j^* - c_i c_j^*}{1 - \langle \lambda_i, \lambda_j \rangle} \big]_{i,j=1}^n $ が正定値であることに帰着する。
• 本結果は、既知の可換補間定理（例：[39, 定理4.1]）を非可換設定に一般化する。