[論文レビュー] Interpolation of Gibbs measures with White Noise for Hamiltonian PDE

Tadahiro Oh, Jeremy Quastel+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、トーラス上のハミルトニアンPDEに対して、逆温度 $\beta \to 0$ のとき、ギブズ測度とホワイトノイズの間の補間測度の弱収束を確立する。KdV方程式のギブズ測度とホワイトノイズの間の連続的補間を構築することで、著者らはホワイトノイズがこれらの測度の弱極限であることを証明し、KdVフロー下でのホワイトノイズの不変性を直接的証明するとともに、修正KdV方程式および立方非線形シュレーディンガー方程式への結果の拡張を達成する。

ABSTRACT

We consider the family of interpolation measures of Gibbs measures and white noise given by $$dQ_{0,\b}^{(p)} = Z_\b^{-1} \ind_{{\int_{\T} u^2\le K\b^{-1/2}\}} e^{-\int_{\T} u^2 +\b \int u^p} dP_{0,\b}$$ where $P_{0, \b}$ is the Wiener measure on the circle, with variance $β^{-1}$, conditioned to have mean zero. It is shown that as $β o 0$, $Q_0^β$ converges weakly to mean zero Gaussian white noise $Q_0$. As an application, we present a straightforward proof that $Q_0$ is invariant for the Kortweg-de Vries equation (KdV). This weak convergence also shows that the white noise is a weak limit of invariant measures for the modified KdV and the cubic nonlinear Schrödinger equations.

研究の動機と目的

• 逆温度 $\beta \to 0$ のとき、ギブズ測度とホワイトノイズの間の補間測度族の弱収束を確立すること。
• トーラス上でのKorteweg-de Vries（KdV）方程式における平均ゼロのガウス型ホワイトノイズの不変性を直接的証明すること。
• 同じ極限手続きを用いて、修正KdV方程式および立方非線形シュレーディンガー方程式への不変性結果の拡張を図ること。
• 指数モーメントの制御と分布収束の利用により、補間測度がホワイトノイズに近づくという形式的直観を厳密に正当化すること。

提案手法

• $p$-非線形性のギブズ測度とホワイトノイズの間を補間する1パラメータ族の測度 $Q_{0,\beta}^{(p)}$ を構築し、$L^2$-ノルムに $\beta^{-1/2}$ スケーリングを施したカットオフを導入する。
• ブラウン運動のフーリエ表現と複素/実ガウス場を用いて、分散 $\beta^{-1}$ の基礎となるウィener測度 $P_{0,\beta}$ を表現する。
• 測度の変換として $\beta \int u^p$ の指数を用い、$\|u\|_{L^2}^2 \leq K\beta^{-1/2}$ のカットオフを導入することで補間測度を定義する。
• ソボレフ埋め込みとホルダーの不等式を用いて、指数部における立方および四次非線形項を制御する。
• チェビシェフの不等式とモーメントのバウンドを用いて、測度におけるレアイベントの尾部寄与を制御する。
• 超収縮性とガウスモーメント推定を適用し、指数モーメントの一様有界性を示し、緊密性と弱収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補間測度 $Q_{0,\beta}^{(4)}$ は $\beta \to 0$ のときホワイトノイズに弱収束するか？
• RQ2 ギブズ測度からの極限的議論によって、KdV方程式下でのホワイトノイズの不変性を証明できるか？
• RQ3 複素数値場に対応する立方非線形シュレーディンガー方程式に対しても、同様の収束が成立するか？
• RQ4 $L^2$-カットオフ $\int u^2 \leq K\beta^{-1/2}$ は正規化定数の有限性と収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 $P_{0,\beta}$ の基準測度の下で $\int u^p$ の指数モーメントはどのように振る舞い、一様に有界にできるか？

主な発見

• 逆温度 $\beta \to 0$ のとき、補間測度 $Q_{0,\beta}^{(4)}$ は $H^s_0(\mathbb{T})$ 上の平均ゼロのガウス型ホワイトノイズ $Q_0$ に弱収束する。ただし $s < -1/2$ を満たす。
• ホワイトノイズのKdV方程式下での不変性は、この弱収束に基づく直接的かつ厳密な証明により確立される。
• 同様の収束結果は複素数値場に対しても成立し、修正KdV方程式および立方非線形シュレーディンガー方程式の不変測度族の弱極限としてホワイトノイズが得られることを示唆する。
• $p=3$ の場合、指数モーメント $\mathbb{E}_{\mu_\beta}\big[\mathbf{1}_{\{\|u\|_{L^2}^2 \leq K\beta^{-1/2}\}} e^{r\beta \int u^3} \big]$ は $\beta$ に依存せず一様に有界であり、緊密性が保証される。
• $p=4$ の場合、収束は超収縮性と修正測度 $\widetilde{\mu}_\beta$ を用いた非線形項の制御を組み合わせることで証明される。
• 証明は、$\int u^3$ が小さい領域と $L^2$-ノルムが制御される領域に確率空間を細かく分割する技巧的な分解に依拠しており、尾部寄与が $\beta \to 0$ のとき消えることが示されている。