[論文レビュー] Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces

Vladimir Mikhailets, Aleksandr Murach|ArXiv.org|Dec 7, 2007

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 22被引用数 33

ひとこと要約

本稿では、特にカラマタの意味における漸近的に変化の遅い関数を含む関数パラメータを用いて、ヒルベルト空間に対する洗練された補間理論を確立する。閉多様体上の等方的ホルマンダー空間が、楕円型擬微分作用素に対する関数計算を用いた補間空間として特徴付けられることを証明し、正規変動関数を用いた洗練されたスケールを完全に記述する。

ABSTRACT

The interpolation of couples of separable Hilbert spaces with a function parameter is studied. The main properties of the classic interpolation are proved. Some applications to the interpolation of isotropic Hörmander spaces over a closed manifold are given.

研究の動機と目的

• 古典的な補間理論をべき乗パラメータに限らず、より広い関数パラメータのクラスへ一般化すること。
• 閉多様体上の等方的ホルマンダー空間 $ H^{s,\rho} $ を関数パラメータによる補間空間として特徴付けること。
• ホルマンダー空間の洗練されたスケールと正の楕円型擬微分作用素のスペクトル理論との間の関係を確立すること。
• 作用素 $ A_0 $ が楕円型作用素の閉包であるとき、$ H^{s,\rho} $ のノルムが $ \varphi_s(A_0) $ のグラフノルムと同値であることを証明すること。

提案手法

• 生成作用素 $ J $ を持つ適切な対 $ [X_0, X_1] $ に対する関数計算を用いて、関数パラメータ $ \psi \in \mathcal{B} $ による補間を定義する。
• 正規自己共役作用素のスペクトル理論を用いて、ノルム $ \|u\|_{X\psi} = \|\psi(J)u\|_{X_0} $ を持つ補間空間 $ X_\psi := \mathrm{Dom}(\psi(J)) $ を定義する。
• 補間空間 $ [L_2(\Gamma), \mathrm{Dom}(A_0^k)]_\psi $ が、$ \psi(t^k) = \varphi_s(t) $ のとき、ノルム同値の意味で $ H^{s,\varphi}(\Gamma) $ に等しいと特徴付ける。
• 作用素 $ A_0 = (1 - \Delta_\Gamma)^{m/2} $ に理論を適用する。ここで $ \Delta_\Gamma $ は閉リーマン多様体 $ \Gamma $ 上のベルトラミ・ラプラシアン作用素である。
• $ f \in C^\infty(\Gamma) $ の滑らかな関数に対して、$ \|f\|_{H^{s,\varphi}(\Gamma)} \asymp \|\varphi_s(A_0)f\|_{L_2(\Gamma)} $ を証明する。
• $ C^\infty(\Gamma) $ が $ \mathrm{Dom}(\varphi_s(A_0)) $ で稠密であり、$ H^{s,\varphi}(\Gamma) $ と $ \mathrm{Dom}(\varphi_s(A_0)) $ のノルムが同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な補間関手をべき乗パラメータから、ゆっくり変化する関数を含む最大クラスの関数パラメータへ拡張することは可能か？
• RQ2 閉多様体上の等方的ホルマンダー空間 $ H^{s,\varphi} $ は、関数パラメータによる補間を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ3 ホルマンダー空間の洗練されたスケールと楕円型擬微分作用素のスペクトル的性質との間の正確な関係は何か？
• RQ4 $ H^{s,\varphi}(\Gamma) $ のノルムが $ \varphi_s(A_0) $ のグラフノルムと同値となる条件は何か？

主な発見

• 空間 $ H^{s,\varphi}(\Gamma) $ は、位相 $ m $ の正の楕円型擬微分作用素の閉包である $ A_0 $ に対する作用素 $ \varphi_s(A_0) $ の定義域 $ \mathrm{Dom}(\varphi_s(A_0)) $ と同型である。
• $ s \geq 0 $ のとき、$ s = 0 $ の場合に $ 1/\varphi $ が無限大で有界である限り、$ H^{s,\varphi}(\Gamma) $ のノルムは $ \varphi_s(A_0) $ のグラフノルムと同値である。
• 補間空間 $ [L_2(\Gamma), \mathrm{Dom}(A_0^k)]_\psi $ は、$ \psi(t^k) = \varphi_s(t) $ のとき、ノルム同値の意味で $ H^{s,\varphi}(\Gamma) $ に一致する。
• すべての $ f \in C^\infty(\Gamma) $ に対して、ノルム $ \|f\|_{H^{s,\varphi}(\Gamma)} $ は $ \|\varphi_s(A_0)f\|_{L_2(\Gamma)} $ と同値である。
• $ C^\infty(\Gamma) $ は $ \mathrm{Dom}(\varphi_s(A_0)) $ で稠密であり、補間空間の完備性と分離可能性が保証される。