[論文レビュー] Interpretable Analytic Calabi-Yau Metrics via Symbolic Distillation

D Yang Eng|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2026

Quantum many-body systems被引用数 0

ひとこと要約

本論文は Calabi–Yau メトリクスのニューラル代替表現を、ニューラル精度を維持する5項の解析式に凝縮し、係数がモジュライをまたいで滑らかに変化することを示す。体積積分と Yukawa カップリングによる強い検証あり。

ABSTRACT

Calabi--Yau manifolds are essential for string theory but require computing intractable metrics. Here we show that symbolic regression can distill neural approximations into simple, interpretable formulas. Our five-term expression matches neural accuracy ($R^2 = 0.9994$) with 3,000-fold fewer parameters. Multi-seed validation confirms that geometric constraints select essential features, specifically power sums and symmetric polynomials, while permitting structural diversity. The functional form can be maintained across the studied moduli range ($ψ\in [0, 0.8]$) with coefficients varying smoothly; we interpret these trends as empirical hypotheses within the accuracy regime of the locally-trained teachers ($σ\approx 8-9\%$ at $ψ eq 0$). The formula reproduces physical observables -- volume integrals and Yukawa couplings -- validating that symbolic distillation recovers compact, interpretable models for quantities previously accessible only to black-box networks.

研究の動機と目的

• Calabi–Yau メトリクスが string phenomenology に不可欠であり、明示的な Ricci-フラットなメトリクスを計算するのが難しい理由を動機づける。
• 記号回帰が解釈可能で凝縮された解析形を抽出し、ニューラル代替の精度を再現できることを示す。
• 固定の5項スキャフォールドがモジュリ範囲全体で有効であり、係数がモジュリ依存的に変化することを示す。
• 体積積分や Yukawa カップリングなどの物理的観測量に対して、蒸留された式を検証する。

提案手法

• 分布平衡メトリクスを k=10 におけるニューラル風教師として用い、Ricci-フラット近似を行う。
• 記号回帰のターゲットを y = log(det g_alg / det g_FS) とし、特徴量 p2 および sigma3 をべき和と対称多項式から導出する。
• PySR を適用して、損失と複雑さの Pareto 条件をバランスさせる簡明な5項表現を探索する。
• 結果の式：log(det g_alg / det g_FS) = c0 + c1 / p2^2 + c2 * sigma3 / p2^3 + c3 * p2 + c4 * sigma3。
• psi 値を複数取り独立に係数をフィッティングし、モジュライ間の整合性と係数の傾向解釈性を評価する。

Figure 1: Validation of the symbolic formula (Eq. 8 ) on $10,000$ independent hold-out test points. (Top) Scatter plot shows near-perfect agreement ( $R^{2}=0.9994$ ) between symbolic prediction and neural surrogate. (Bottom) Residuals are approximately symmetric with $\sigma\approx 0.011$ and zero

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 metric observables はデータから学習可能な、凝縮で解釈可能な解析形を持つか。
• RQ2 studied range 内でモジュライ空間に対して発見された関数形は不変か。幾何は滑らかに変化する係数にエンコードされるか。
• RQ3 記号的・解釈可能なモデルが、体積積分や Yukawa カップリングのようなメトリクスに定義された物理観測量をどれだけ再現できるか。
• RQ4 特定の幾何的不変量（べき和と対称多項式）が Ricci-フラット性を捉える上でどのような役割を果たすか。

主な発見

• 5項の記号式はニュラル代替に対して log(det g_alg / det g_FS) の R^2 = 0.9994 を達成。
• 記号モデルは5項と5つの学習可能係数のみを使用し、ニューラル代替と比較してパラメータを約3000倍削減。
• 係数 c_i(psi) は psi に対して滑らかに変化し、Dwork 系モジュリ範囲 psi ∈ [0,0.8] における階層的変調を示す。
• 記号式で計算した体積積分は 0 ≤ psi ≤ 0.8 の範囲でニューラル代替と約2%程度の一致を示す。
• Fermat 点における Yukawa カップリングはパイプラインにより正確に再現され、kappa_111 = 5 で psi の増大に伴う誤差はサブパーセントに留まる。
• 記号式は正確なメトリック表現に必要な singular な 1/p2^n を捉え、p2 と sigma3 を特徴として固定するアブレーションによって重要性が示される。

Figure 2: Coefficient trajectories $c_{i}(\psi)$ reveal hierarchical moduli response : singular terms ( $c_{1}$ , $c_{3}$ ) undergo sign reversal (vertical dashed line marks zero crossing), while symmetric term $c_{4}$ strengthens monotonically. Inset: coefficient classification by response regime.