[論文レビュー] Intersection cohomology of Drinfeld's compactifications

Alexander BRAVERMAN, D. Gaitsgory+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2000

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、曲線上の $P$-バンドルのモジュライスタックのドリンフェルトのコンパクト化における交差コホモロジー層の明示的記述を、ラングランズ双対リーリー代数の組合せ論とザスタヴァ空間を局所モデルとして用いることで与える。主な結果は、コホモロジー層を、コルート格子内の重みで添え字付けられた、曲線の対称積上の局所系のテンソル積の押し出しの直和として特定し、そのシフトは放物型の次数によって決定されることである。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth complete curve, $G$ be a reductive group and $P\subset G$ a parabolic. Following Drinfeld, one defines a compactification $\widetilde{\on{Bun}}_P$ of the moduli stack of $P$-bundles on $X$. The present paper is concerned with the explicit description of the Intersection Cohomology sheaf of $\widetilde{\on{Bun}}_P$. The description is given in terms of the combinatorics of the Langlands dual Lie algebra $\check{\mathfrak g}$.

研究の動機と目的

• ドリンフェルトのコンパクト化 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ における交差コホモロジー層の幾何学的および表現論的記述を提供すること。
• ナード・アイゼンスタイン系列関手の非コンパact性の問題を、コンパクト化スタックを用いて修正された幾何的アイゼンスタイン系列関手を構成することで解決すること。
• $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ の特異点と半無限フラッグ多様体との間の関係を、有限次元モデル（ザスタヴァ空間）を通じて確立すること。
• ルシュツィグの組合せ的パターンを、特に周期的カジミリッツ＝ルシュツィグ多項式を通じて、交差コホモロジーの観点から実現すること。

提案手法

• $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ の特異点の有限次元局所モデルとしてザスタヴァ空間 $Z^\mu$ を用い、任意の放物型部分群に一般化する。
• $\Theta \subset \Lambda_{G,P}$ における根 $\theta \in \Theta$ の正の組み合わせの半群 $\mathbb{Z}_+\Theta$ を定義する。ここで $\Theta$ はラングランズ双対放物型の非ゼロ重複度空間を添え字づける。
• 双対レヴィ $\check{M}$ の表現に関連する局所化された層のテンソル積を用いて、対称積 $X^{\mathfrak{P}(\theta)}$ 上の層複体 $\mathcal{R}_{\mathfrak{P}(\theta)}(V)$ を構成する。
• 正規化写像 $j_{P,\mathfrak{P}(\theta)}$ を用いて、 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 上のIC層を、ストラタ $^\mathfrak{P}(\theta)\overline{\operatorname{Bun}}_P$ 沿いのこれらの局所系の押し出しと関連付ける。
• 開ストラタから始めてストラタごとの帰納法を用い、全IC複体をすべての $\mathfrak{P}(\theta) \in \mathbb{Z}_+\Theta$ における直和として計算し、各項に $2|\mathfrak{P}(\theta)|$ のシフトを加える。
• $\check{\mathfrak{u}}(P)$ 上の主ナイルポテンシャル $e$ に対する $\operatorname{Im}(e)[1]$ の自己双対性を活用し、得られる層複体の双対性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリンフェルトのコンパクト化 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 上の交差コホモロジー層は、幾何学的および表現論的データの観点からどのように明示的に記述できるか？
• RQ2 修正された幾何的アイゼンスタイン系列関手とナードのそれとの正確な関係は何か？また、幾何的設定における $L$-関数とどのように関連するか？
• RQ3 ザスタヴァ空間は $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ の特異点の局所モデルとしてどの程度有効であるか？また、半無限フラッグ多様体の構造をどのように反映するか？
• RQ4 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 上のIC層の茎は、ルシュツィグの周期的カジミリッツ＝ルシュツィグ多項式をどのように符号化するか？
• RQ5 $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 上のIC層は、曲線の対称積上の層の押し出しの直和として、双対レヴィ群の表現における係数を伴って表現可能か？

主な発見

• $\widetilde{\operatorname{Bun}}_P$ 上の交差コホモロジー層は、すべての $\mathfrak{P}(\theta) \in \mathbb{Z}_+\Theta$ における押し出し $ (j_{P,\mathfrak{P}(\theta)})_! $ を適用した層 $ \mathcal{R}_{\mathfrak{P}(\theta)}(\operatorname{Im} e) \boxtimes \operatorname{IC}(\overline{\operatorname{Bun}}_P) $ の直和に同型であり、シフトは $ 2|\mathfrak{P}(\theta)| $ である。
• $ X^{\mathfrak{P}(\theta)} $ 上の層 $ \mathcal{R}_{\mathfrak{P}(\theta)}(V) $ は、 $ V $ が $ \Theta $-適応 $ \mathbb{Z} $-次数付き $ \check{M} $-加群であるとき、 $ \overline{\operatorname{Loc}}(V_{\theta_s})^{(n_s)} $ のボックス積として構成される。
• $ \overline{\operatorname{Bun}}_P $ 上の複体 $ \mathfrak{Q} := \mathfrak{r}_! \operatorname{IC} $ は、すべての $ \theta \in \Lambda_{G,P}^{\text{pos}} $ および $ \mathfrak{P}(\theta) $ における直和に同型であり、与えられた押し出し構造を持つ。
• $ X^{\mathfrak{P}(\theta)} $ 上の層 $ \mathcal{R}_{\mathfrak{P}(\theta)}(\operatorname{Im} e)[2|\mathfrak{P}(\theta)|] $ は自己双対であり、これは $ (\operatorname{Im} e)[1] $ の有限次元ベクトル空間における自己双対性を反映している。
• この構成は、稠密な開ストラタから始めるストラタごとの帰納法によって証明され、正規化写像 $ j_{P,\mathfrak{P}(\theta)} $ はストラタ $ {}^{\mathfrak{P}(\theta)}\overline{\operatorname{Bun}}_P $ の特異点の解消を提供する。
• 結果として、量子群の単位根における表現論と $ \widetilde{\operatorname{Bun}}_P $ の幾何学との間の明確な関係が確立される。