[論文レビュー] Intersection cuts from multiple rows: a disjunctive programming approach

Egon Balas, Andrea Qualizza|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 18被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、混合整数プログラミングにおける Simplex タブローの複数行から強い交差カットを生成するための選言的プログラミング手法を提案する。カットを q 次元のパラメトリッククロスポリトープとの交差としてモデル化し、選言的ハルの面を導出することで、従来の GMI カットやスプリットカットよりも強いカットが得られる。特に、非基底変数の整数性を活用するか、特別な 0-1 選言を用いることで強化された場合、計算実験では最適性ギャップの顕著な改善が得られた。

ABSTRACT

We address the issue of generating cutting planes for mixed integer programs from multiple rows of the simplex tableau with the tools of disjunctive programming. A cut from <em>q</em> rows of the simplex tableau is an intersection cuts from a q-dimensional parametric cross-polytope, which can also be viewed as a disjunctive cut from a 2^q-term disjunction. We define the disjunctive hull of the <em>q</em>-row problem, describe its relation to the integer hull, and show how to generate its facets. For the case of binary basic variables, we derive cuts from the stronger disjunctions whose terms are equations. We give cut strengthening procedures using the integrality of the nonbasic variables for both the integer and the binary case. Finally, we discuss some computational experiments.

研究の動機と目的

• 選言的プログラミングを用いて、Simplex タブローの複数行から強力な切り捨て平面を体系的に生成する手法の開発。
• q 行問題の選言的ハルを特徴づけ、整数ハルと関連付けることで、より良いカット生成を実現すること。
• 一般整数および 0-1 問題の両ケースにおいて、非基底変数の整数性を各選言項に組み込むことでカットを強化すること。
• 0-1 問題における方程式に基づく選言を用いて、より緊密なカットを得ることの可能性を調査すること。
• 提案手法のカットが混合整数プログラミングインスタンスにおいて、計算性能に与える影響を評価すること。

提案手法

• q 行からカットを定式化し、q 次元のパラメトリッククロスポリトープとの交差カットとして定義する。
• 2^q 項の選言に対応する 2^q 個の多面体集合の凸包として選言的ハルを定義する。
• 選言的プログラミングの双対性およびリフト技術を用いて、選言的ハルの面を導出する。
• 各選言項に非基底変数の整数制約を組み込むことで、カットを強化する。
• 0-1 変数の場合、πx = π₀ または πx = π₀ + 1 などの方程式によって定義される選言を用い、より強いカットを導出する。
• 強化されたカットをブランチアンドカットフレームワークに統合し、MIPLIB インスタンスにおける性能を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 選言的プログラミングを用いることで、従来の交差カットやスプリットカットよりも、複数の Simplex 行からより強いカットを生成する方法は何か？
• RQ2 q 行 MIP 部問題における選言的ハルの幾何学的・代数的構造は何か？
• RQ3 0-1 問題における方程式に基づく選言から導出されるカットは、標準的なスプリットカットと比べて強度と計算性能においてどのように異なるか？
• RQ4 非基底変数の整数性を用いたカット強化は、ブランチアンドカットアルゴリズムにおけるギャップの閉じる割合にどの程度寄与するか？
• RQ5 GMI、三角形、放物型カットなどの複数のカットタイプを、提案された強化カットと組み合わせた場合、MIP の解法時間およびギャップ閉じ率にどのような実証的影響を与えるか？

主な発見

• q 行問題の選言的ハルは、整数ハルよりもタイトな緩和を提供し、より強いカット生成を可能にする。
• q 次元のパラメトリッククロスポリトープからの導出カットは、標準的な GMI カットよりも強いが、特に強化された場合には顕著に強化される。
• 計算実験では、GMI、三角形、放物型カットを組み合わせた場合、5ラウンド後に平均して 38.78% の最適性ギャップが閉じられた。
• 0-1 問題における方程式に基づく選言の使用は、著しく強いカットをもたらし、mod011 では平均で 184.35%、p0033 では 352.70% のギャップ改善が得られた。
• 非基底変数の整数性によるカット強化は、ギャップを閉じるためのカット数を削減し、ベースラインの GMI カットと比較して平均で 43.61% のギャップ閉じ率向上を達成した。
• すべてのカットタイプを組み合わせた場合、5ラウンド後に 27.24% のギャップ閉じ率を達成し、全テストインスタンスにおいて個別のカット戦略を上回った。