[論文レビュー] Intersection numbers on $\overline {\mathcal M}_{g,n}$ and BKP hierarchy

A. Alexandrov|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2020

Polynomial and algebraic computation参考文献 34被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、安定曲線のモジュライ空間 $\bar{\frak M}_{g,n}$ 上の交点数とBKP可積分階層の間の新しい接続を提案する。Kontsevich–WittenおよびBrézin–Gross–Wittenのτ関数——トポロジカル重力および数え上げ幾何学の中心的対象——が、シュールQ関数展開を通じてBKP階層の超幾何的解として表現可能であると予想する。これは、時間変数の簡単なスケーリングによって、KdVとBKP可積分系の間の驚くべき関係を明らかにする。

ABSTRACT

In their recent inspiring paper Mironov and Morozov claim a surprisingly simple expansion formula for the Kontsevich-Witten tau-function in terms of the Schur Q-functions. Here we provide a similar conjecture for the Brézin-Gross-Witten tau-function. Moreover, we identify both tau-functions of the KdV hierarchy, which describe intersection numbers on the moduli spaces of punctured Riemann surfaces, with the hypergeometric solutions of the BKP hierarchy.

研究の動機と目的

• モジュライ空間 $\bar{\frak M}_{g,n}$ 上の交点数とBKP可積分階層との間の新しい接続を確立すること。
• Kontsevich–WittenおよびBrézin–Gross–Wittenのτ関数が、時間変数のスケーリングを施すことで、KdV階層の解であるにもかかわらずBKP階層を満たすと予想すること。
• 両方のτ関数に対して、単純で組合せ論的構造を持つ係数を有する明示的なシュールQ関数展開を提供すること。
• これらのτ関数がBKP階層の超幾何的解として特定され、スピンHurwitz数および2成分BKP構造と関連づけられることを示すこと。
• この同定の幾何学的および代数的意味、特にSatoのグリューバーマンとモジュライ空間の交点理論の観点からの意義を検討すること。

提案手法

• Brézin–Gross–Witten (BGW) τ関数の推測的シュールQ関数展開を提案する：$\tau_{BGW} = \textstyle\bigsum_{\text{DP}} \big(\frac{\bar\tau}{16}\big)^{\mathit{|\nu|}} \frac{Q_\nu({\bf t}) Q_\nu(\boldsymbol{\nu}_{k,1})^3}{Q_{2\nu}(\boldsymbol{\nu}_{k,1})^2}$、ここでDPは厳密な分割を表す。
• Kontsevich–Witten (KW) τ関数に対しても類似の展開を提案する：$\tau_{KW} = \textstyle\bigsum_{\text{DP}} \big(\frac{\bar\tau}{16}\big)^{\mathit{|\nu|}/3} \frac{Q_\nu({\bf t}) Q_\nu(\boldsymbol{\nu}_{k,1}) Q_{2\nu}(\boldsymbol{\nu}_{k,3}/3)}{Q_{2\nu}(\boldsymbol{\nu}_{k,1})}$。
• 時間変数を $1/2$ 倍したバージョン $\tau_{KW}({\bf t}/2)$ および $\tau_{BGW}({\bf t}/2, N)$ が、一般形 $r_\nu = \text{exp}\big(\textstyle\bigsum_{j=1}^{\text{len}(\nu)} \tilde{\rho}(\nu_j)\big)$ を用いてBKP階層の超幾何的解であると特定する。
• BKP階層における生成関数 $r(z)$ の明示的表現を導出する：BGWに対しては $r(z) = \bar\tau \frac{(2z-1)^2 - 4N^2}{16}$、KWに対しては $\bar\tau$, $\beta$, $A_k$ を含むより複雑な式。
• BKP階層の時間変換に対する対称性を用いて、Miller–Morita–Mumford類 $\boldsymbol{\nu}_k$ の挿入がBKP時間のシフトに対応し、τ関数の構造を保存することを示す。
• John StembridgeのSFおよびQF Mapleパッケージを用いた計算的検証により、$|\nu| \to 39$ まで摂動的に予想を確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kontsevich–WittenおよびBrézin–Gross–Wittenのτ関数——これらはKdV階層の解であるが——時間変数を適切にスケーリングした後、BKP階層の解にもなるだろうか？
• RQ2 BGW τ関数の正確なシュールQ関数展開は何か？ そして、最近提案されたMironov–MorozovのKW τ関数の公式と比較するとどうなるか？
• RQ3 BKP階層の枠組み内で、KWおよびBGWの両方のτ関数を一様な超幾何的記述で表せるか？ その関連する $r$-関数および $t^*$-時間は何か？
• RQ4 Miller–Morita–Mumford類 $\boldsymbol{\nu}_k$ の挿入は、生成関数のBKP構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 $\bar{\frak M}_{g,n}$ 上の交点理論の幾何的解釈は、スピンHurwitz数および2成分BKP階層の観点からどのように理解できるか？

主な発見

• BGW τ関数は、係数に $Q_\nu(\boldsymbol{\nu}_{k,1})^3 / Q_{2\nu}(\boldsymbol{\nu}_{k,1})^2$ を含むシュールQ関数展開を有し、深い組合せ論的構造を示唆する。
• KW τ関数も同様に、係数 $ \big(\frac{\bar\tau}{16}\big)^{\mathit{|\nu|}/3} \frac{Q_\nu(\boldsymbol{\nu}_{k,1}) Q_{2\nu}(\boldsymbol{\nu}_{k,3}/3)}{Q_{2\nu}(\boldsymbol{\nu}_{k,1})} $ を持つQ関数展開を有し、これは超幾何的BKP解と同値であると予想される。
• 時間変数を $1/2$ 倍した後、$\tau_{KW}({\bf t}/2)$ および $\tau_{BGW}({\bf t}/2, N)$ は両方ともBKP階層の超幾何的解であると予想され、特定の $r$-関数 $r(z) = \bar\tau \frac{(2z-1)^2 - 4N^2}{16}$ を持つ。
• KWの場合、$r$-関数は $k \bmod 3$ に依存する区分的指数関数 $\tilde{\rho}_{KW}(k)$ で定義され、$e^{\tilde{\rho}_{KW}(3k)} = \bar\tau^k A_k$、$e^{\tilde{\rho}_{KW}(3k-1)} = -\bar\tau^{k-1/3} \frac{2}{(6k-1)\beta} A_k$、$e^{\tilde{\rho}_{KW}(3k-2)} = \bar\tau^{k-2/3} \frac{8\beta}{6k-1} A_k$ となる。
• SFおよびQFのMapleパッケージを用いた計算的検証により、$|\nu| = 39$ まで摂動的に予想が確認され、低次のケースで有効であることが支持される。
• $\tau_{GWP}^\theta$ の生成関数に $\boldsymbol{\nu}_k$ を挿入するとBKP τ関数が得られ、標準的なGromov–Witten–Petersson生成関数 $\tau_{GWP}$に対しても同様のことが成り立ち、モジュライ空間交点理論におけるより広範なBKP構造が示唆される。