[論文レビュー] Intersection pairing for arithmetic cycles with degenerate Green currents

Atsushi Moriwaki|ArXiv.org|Mar 13, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特異なグリーン電流を含む、正則な射影的算術多様体上の余次元1サイクルの拡張された算術チャウ群を導入する。この枠組みにおいてホッジ指数定理を確立し、ランク2ベクトル束に対するボゴモロフの不安定性定理の算術的類似を証明することで、特異グリーン電流を伴う算術的交差理論の基礎的枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this note, we would like to propose a suitable extension of the arithmetic Chow group of codimension one, in which the Hodge index theorem holds. We also prove an arithmetic analogue of Bogomolov's instability theorem for rank 2 vector bundles on arbitrary regular projective arithmetic varieties.

研究の動機と目的

• 余次元1サイクルの算術チャウ群を、特異なグリーン電流を含めるように拡張すること。
• 拡張された枠組みにおいてホッジ指数定理が成立することを保証すること。
• 正則な射影的算術多様体上のランク2ベクトル束に対して、ボゴモロフの不安定性定理の算術的類似を確立すること。
• 特異グリーン電流が存在する状況においても一貫した交差ペアリングを提供すること。

提案手法

• 滑らかでない、または厳密に正でない性質を持つ特異なグリーン電流を許容することで、算術チャウ群を拡張する。
• 算術的曲面および高次元算術多様体におけるグリーン電流および算術的交差理論の理論を用いる。
• グリーン電流が特異であっても、算術的交差数の理論を適用する。
• 算術的リーマン・ロッフ定理および算術的設定における第一チエーン類の性質を用いる。
• グリーン電流の退化を考慮に入れた洗練された交差ペアリングを導入する。
• 正則な射影的算術スキームの構造および特異計量を伴う線分束の挙動に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホッジ指数定理のような主要定理が保たれるように、特異グリーン電流を含むサイクルを含む算術チャウ群を拡張することは可能か？
• RQ2 正則な射影的算術多様体上のランク2ベクトル束に対して、ボゴモロフの不安定性定理の算術的類似は成立するか？
• RQ3 グリーン電流が特異的または退化している場合、どのように一貫した交差ペアリングを定義できるか？
• RQ4 退化グリーン電流は、算術的リーマン・ロッフ公式および算術的交差理論において果たす役割は何か？
• RQ5 滑らかでない、または退化したグリーン電流を伴う算術的サイクルに対し、ホッジ指数定理を一般化できるか？

主な発見

• 余次元1サイクルの拡張された算術チャウ群は、特異グリーン電流が存在しても、明確に定義された交差ペアリングを有する。
• 拡張された算術チャウ群においてホッジ指数定理が成立し、算術的交差数における正定性および符号制約が保証される。
• 正則な射影的算術多様体上のランク2ベクトル束に対して、ボゴモロフの不安定性定理の算術的類似が証明された。
• 特異または退化したグリーン電流が存在する状況においても、算術的交差理論の一貫した枠組みが提供される。
• 本稿では、グリーン電流の退化が、基本的な算術的双対性および指数定理の有効性を妨げないことが示された。
• 結果は、特に基底スキームや曲面に制限されない、任意の正則な射影的算術多様体に対して有効である。