[論文レビュー] Intersection pairings in moduli spaces of vector bundles of arbitrary rank over a Riemann surface

Lisa C. Jeffrey, Frances Kirwan|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、g ≥ 2 の種数のリーマン面上のランク n および次数 d の安定なベクトル bundle のモジュライ空間 M(n,d) のコhomologyにおける交差ペアリングのウィッテンの公式の数学的証明を提供する。これらの交差公式を用いて、M(n,d) 上のラインバンドルの正則切断の次元を表すヴェルリンドの公式が導かれる。これは、数学的物理における重要な結果の厳密な基礎を確立する。

ABSTRACT

We prove formulas (found by Witten in 1992 using physical methods) for intersection pairings in the cohomology of the moduli space M(n,d) of stable holomorphic vector bundles of rank n and degree d (assumed coprime) on a Riemann surface of genus g greater than or equal to 2. We also use these formulas for intersection numbers to obtain a proof of the Verlinde formula for the dimension of the space of holomorphic sections of a line bundle over M(n,d).

研究の動機と目的

• M(n,d) のコhomologyにおけるウィッテンの物理的公式の交差ペアリングについて、数学的に厳密な証明を提供すること。
• モジュライ空間上の交差理論とヴェルリンドの公式との間の関係を確立すること。
• 提案された公式によって計算される交差数が、M(n,d) 上のラインバンドルの正則切断の空間の次元を正しく与えることを示すこと。
• リーマン面上の安定なベクトル bundle モジュライ空間におけるコhomological 不変量の理解を拡張すること。

提案手法

• 安定な正則ベクトル bundle のモジュライ空間 M(n,d) のコhomology 環を分析するために代数幾何学的手法を用いる。
• 特徴類の理論およびマムフォードのタウトロジカルクラスを適用して交差ペアリングを計算する。
• モジュライ空間が滑らかでかつ既約であることを保証するために、ランク n と次数 d が互いに素であるという仮定を採用する。
• チャーン指標とトッド類を用いて、交差数を位相的不変量の形で表現する。
• モジュライ空間が自然な極化を備えた射影的代数的多様体としての構造を持つことに依存する。
• 交差数を正則切断の空間の次元として解釈することでヴェルリンドの公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 M(n,d) におけるウィッテンの物理的公式の交差ペアリングを、数学的手段によって厳密に導出するにはどうすればよいか？
• RQ2 M(n,d) のコhomologyにおける交差数と、ラインバンドルの正則切断の空間の次元との間の明確な関係は何か？
• RQ3 ヴェルリンドの公式は、安定なベクトル bundle モジュライ空間上の交差理論の結果として得られるか？
• RQ4 n と d が互いに素であるという条件が、交差公式およびヴェルリンドの公式の有効性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• この論文は、完全に数学的技法を用いて、M(n,d) のコhomologyにおけるウィッテンの交差ペアリング公式を正当に証明した。
• 導出された交差数は、M(n,d) 上のラインバンドルの正則切断の次元についてヴェルリンドの公式の予測と一致する。
• ヴェルリンドの公式は、モジュライ空間上の交差理論の結果として得られ、幾何的解釈が与えられる。
• 結果は、gcd(n,d)=1 であるという条件下で成り立つ。この条件により、モジュライ空間が滑らかでかつ既約であることが保証される。
• 数学的および物理的アプローチが、ベクトル bundle モジュライ空間の幾何に一貫して適用可能であることが確認された。
• M(n,d) のコhomological 構造が、交差ペアリングを通じて、深い算術的および位相的情報を符号化していることが示された。