[論文レビュー] Intersection Pairings on Spaces of Connections and Chern-Simons Theory on Seifert Manifolds

G.E. Thompson|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リーマン面上の接続空間における交差形式として、Seifert 3次元多様体上の Chern-Simons 理論の経路積分形式を確立する。これは Hirzebruch-Riemann-Roch 公式の一般化である。非アーベル局在化と等置同調コホモロジーを用いて、分配関数の正確な表現を導出し、経路積分が平坦接続上の有限次元積分に還元され、修正された Chern-Simons 力学的項（ウィルソン線による寄与を含む）を有することが示された。

ABSTRACT

Let M be a U(1) bundle over a smooth Riemann surface. I show that for Chern-Simons theory on M, with structure group G, the path integral is an integral over the space of G-connections on the Riemann surface involving characteristic classes as well as a certain 4-dimensional class that comes from a universal bundle. When M is the product of a Riemann surface with a circle the 4-dimensional class does not enter and the path integral takes the form of a Riemann-Roch formula albeit in infinite dimensions. The discussion is generalised to include Wilson lines along the fibre direction in M.

研究の動機と目的

• ヘーゲアード分割を超えて、Seifert 3次元多様体へと Chern-Simons 不変量の幾何的定式化を拡張すること。
• 非アーベル局在化を用いて、Seifert 多様体上での分配関数の正確でゲージ不変な経路積分表現を導出すること。
• 共随伴軌道を介してウィルソン線を組み込み、経路積分内でのホロノミー跡の挿入と同等であることを示すこと。
• Chern-Simons 理論の量子ヒルベルト空間構造を、平坦接続のモジュライ空間上の交差理論と統一すること。
• 位相的経路積分定式化を通じて、Verlinde 公式を Seifert 多様体へ一般化すること。

提案手法

• Seifert 多様体上での Chern-Simons 分配関数の正確な経路積分を、リーマン面 Σ 上の接続空間上の有限次元積分として導出する。
• 非アーベル局在化を用いて、3次元の経路積分を平坦接続上の2次元積分に還元し、Σ 上の G-接続の平坦接続のモジュライ空間 M を臨界集合として同定する。
• Seifert 多様体の次数 −p に比例する曲率項と、モジュライ空間の Todd 類を含む修正された Chern-Simons 力学的項を導入する。
• 等置同調コホモロジーと Atiyah-Bott 局在化原理を適用して経路積分を計算し、有限の再正規化によりゲージ不変性と超対称性を保証する。
• ウィルソン線を共随伴軌道 Mλ としてモデル化し、キリロフ=コンスタンツのシンプレクティック形式と等置同調 √A-特性類を用いてホロノミー跡を表現する。
• 幾何的量子化と局在化を用いて、経路積分と交差形式 ∫M Todd(M) ∧ Ch(L^k) ∧ exp(−ip/2π(k + c_g)Θ(M)) の同等性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Seifert 3次元多様体上での Chern-Simons 分配関数は、リーマン面上の平坦接続のモジュライ空間における交差形式として表現可能か？
• RQ2 ウィルソン線の含みが、Seifert 繊維構造の文脈における経路積分定式化にどのように影響を与えるか？
• RQ3 Seifert 多様体 M に対して、Z_{k,G}[M] の正確なゲージ不変な経路積分表現は何か？ また、Hirzebruch-Riemann-Roch 定理とどのように関係するか？
• RQ4 非アーベル局在化を用いて、全位相不変量を捉える有限次元の公式を導出可能か？
• RQ5 共随伴軌道は、ホロノミー跡（ウィルソン線）の挿入を幾何的にどのように符号化するか？

主な発見

• Seifert 多様体 M 上での Chern-Simons 分配関数は、底面のリーマン面 Σ 上の接続空間上の経路積分として正確に等しく、Z_{k,G}[M] = exp(iπη₀/2) / Vol(𝒢) ∫_𝒜 Todd(𝒜) ∧ Ch(ℒ^k) ∧ exp(−ip/2π(k + c_g)Θ(𝒜)) と表される。
• p = 0 のとき、この式は Hirzebruch-Riemann-Roch の指数定理に還元され、ヒルベルト空間次元の Verlinde 公式が回復される。
• 点 x_i ∈ Σ におけるウィルソン線の含みは、共随伴軌道 M_{R_i} の挿入として幾何的に実現され、トレース W_R(K_i) は ∫_{M_{R_i}} exp(i⟨λ_i, φ⟩/2π + Ω_{λ_i}) および j_g^{-1/2}(φ/2π) で表される。
• ゲージ不変性と超対称性は、双対コクセター数 c_g と接続の曲率2形式を含む有限の再正規化の後で保たれる。
• モジュライ空間の滑らかな部分に制限した場合、Beasley-Witten の局在化結果と一致し、先行研究との整合性が確認された。
• 共随伴軌道と等置同調コホモロジーによる幾何的定式化により、分配関数が G/T の等置同調 √A-特性類を計算することが確認され、位相と幾何的量子化の深い関係が示された。