[論文レビュー] Intersection theorems for $\{0,\pm 1\}$-vectors and $s$-cross-intersecting families

Péter Frankl, Andrey Kupavskii|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Erdős-Ko-Rado定理を2つの新しい設定に拡張する。第一に、固定された ℓ² ノルムと有界な対ごとの内積をもつ {0,±1}-ベクトルの族について、大きな n に対して最大サイズを特定する。第二に、s-交叉対称、t-交差するk-集合の族について、|𝒜| + |ℬ| の最大和が、[k] 上の最大t-交差族に基づく明示的構成によって達成されることを証明する。極値族はComplete Intersection Theoremによって特徴づけられる。これらの結果は、内積制約と正確な漸近的境界を用いて、古典的な交差定理をベクトル族および交叉対称設定に一般化する。

ABSTRACT

In this paper we study two directions of extending the classical Erd\H os-Ko-Rado theorem which states that any family of $k$-element subsets of the set $[n] = \{1,\ldots,n\}$ in which any two sets intersect, has cardinality at most ${n-1\choose k-1}$. In the first part of the paper we study the families of $\{0,\pm 1\}$-vectors. Denote by $\mathcal L_k$ the family of all vectors $\mathbf v$ from $\{0,\pm 1\}^n$ such that $\langle\mathbf v,\mathbf v angle = k$. For any $k$, most $l$ and sufficiently large $n$ we determine the maximal size of the family $\mathcal V\subset \mathcal L_k$ such that for any $\mathbf v,\mathbf w\in \mathcal V$ we have $\langle \mathbf v,\mathbf w angle\ge l$. We find some exact values of this function for all $n$ for small values of $k$. In the second part of the paper we study cross-intersecting pairs of families. We say that two families are $\mathcal A, \mathcal B$ are extit{$s$-cross-intersecting}, if for any $A\in\mathcal A,B\in \mathcal B$ we have $|A\cap B|\ge s$. We also say that a set family $\mathcal A$ is {\it $t$-intersecting}, if for any $A_1,A_2\in \mathcal A$ we have $|A_1\cap A_2|\ge t$. For a pair of nonempty $s$-cross-intersecting $t$-intersecting families $\mathcal A,\mathcal B$ of $k$-sets, we determine the maximal value of $|\mathcal A|+|\mathcal B|$ for $n$ sufficiently large.

研究の動機と目的

• 固定された k と l に対して、すべての v,w ∈ 𝒱 について ⟨v,w⟩ ≥ l を満たす ℒ_k に含まれる {0,±1}-ベクトル族 𝒱 の最大サイズを特定すること。
• s-交叉対称、t-交差するk-集合の族を特徴づけ、交差制約の下で |𝒜| + |ℬ| を最大化すること。
• 古典的な極値集合論の結果（Erdős-Ko-Rado定理およびComplete Intersection Theorem）を、内積制約をもつ{0,±1}-ベクトル族および交叉対称ペアに一般化すること。
• Complete Intersection Theoremと二重数え上げを含む構造的・組合せ的技法を用いて、大きな n に対してタイトな漸近的境界を確立すること。

提案手法

• ℒ_k を長さ n の{0,±1}-ベクトルの集合とし、非ゼロ成分がちょうど k 個ある（ℓ² ノルムが k）ものとする。すべての v,w ∈ 𝒱 に対して ⟨v,w⟩ ≥ l を満たす族を研究する。
• s 個の要素からなる集合族の対で、互いに交差が t 以上であるような族のサイズを制限するために、Complete Intersection Theoremを用いる。これは、交叉対称ペアを解析する上で鍵となる。
• 二重数え上げと極値集合論の技法を用いて、s-交叉対称、t-交差するk-集合の族の |𝒜| + |ℬ| を制限する。
• 最大t-交差族 𝒥 を [k] 上に固定し、𝒜 を [k] との共通部分集合が 𝒥 に属するすべてのk-集合とする、極値族を構成する。
• 交差サイズと次数の上限に関する主張を用いて、任意の極値ペア (𝒜,ℬ) がこのような構成に含まれることを証明する。
• Complete Intersection Theoremの一意性の性質を用いて、最大サイズを達成できるのは特定の族 𝒜_i(k,s,t) のみであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大きな n と固定された k,l に対して、固定された ℓ² ノルム k と対ごとの内積が l 以上である {0,±1}-ベクトル族の最大サイズは何か？
• RQ2 s-交叉対称、t-交差するk-集合の族に対して、|𝒜| + |ℬ| の最大可能な和は何か？ そして、どの族がそれを達成するか？
• RQ3 古典的なErdős-Ko-Rado定理およびComplete Intersection Theoremは、内積制約をもつ{0,±1}-ベクトル族に拡張可能か？
• RQ4 s-交叉対称、t-交差するk-集合の極値族は、[k] 上の最大t-交差族の構造とどのように関係するか？
• RQ5 極値構成は一意的か？ また、どのような条件下で既知の族 𝒜_i(k,s,t) と一致するか？

主な発見

• k ≤ n ≤ s² のとき、ℓ² ノルム k で対ごとの内積が l 以上である ℒ_k 内の {0,±1}-ベクトル族の最大サイズは s·(n−1 choose k−1) であり、l = 1 のときに達成される。
• n > s² のとき、最大サイズは二項係数の和として増加する：s·(s²−1 choose s) + (s² choose s) + ... + (n−1 choose s)。同じ内積制約の下で成立する。
• s-交叉対称、t-交差するk-集合の族に対して、|𝒜| + |ℬ| の最大和は、[k] 上の最大t-交差族に基づく構成によって漸近的に達成され、サイズは m(k,s,t)·(n−k choose k−s) に比例する。
• 極値族は一意に特徴づけられる：ある i ≤ s−t に対して 𝒜 は 𝒜_i(k,s,t) に含まれ、ℬ は ℬ_i(k,s,t) に含まれる。等号が成り立つのは、𝒥 = 𝒜_i(k,s,t) が i < s−t または i = s−t のときのみである。
• m(k,s,t) が 𝒜_{s−t}(k,s,t) のみによって達成されるとき、極値ペアは 𝒜 = 𝒜_{s−t}、ℬ = ℬ_{s−t} であり、n = 2k、s = 1 を除いて一意性が成り立つ。
• これらの結果は、極値構成が最適であり、与えられた交差および交叉交差制約の下でより大きな族は存在しないことを確認する。